Упр.14.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 2+log_v2(sin(?/8))+log_v2(cos(?/8));
б) log_(1/2)(cos(?/6)-sin(?/6))+log_(1/2)(cos(?/6)+sin(?/6));
в) log_3(2tg(?/6))-log_3(1-tg^2(?/6));
г) log_(v3/2)(cos(?/12)-sin(?/12))+log_(v3/2)(cos(?/12)+sin(?/12));
д) log_(1/2)(cos(?/12))+log_(1/2)(sin(?/12))-1;
е) 1+log_2(tg(?/8))-log_2(1-tg^2(?/8)). Составьте уравнение той касательной к графику функции y=f(x), которая проходит через начало координат, если:
а) f(x)=ln(x)+1; б) f(x)=ln^2(x).

1. а)

   $$2+\log_{\sqrt2}\left(\sin\frac{\pi}{8}\right)+\log_{\sqrt2}\left(\cos\frac{\pi}{8}\right)$$
   $$=\log_{\sqrt2}2+\log_{\sqrt2}\left(\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}\right)$$
   $$=\log_{\sqrt2}\left(2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}\right)$$
   $$=\log_{\sqrt2}\left(\sin\frac{\pi}{4}\right)=\log_{\sqrt2}\frac{\sqrt2}{2}=\log_{\sqrt2}(\sqrt2)^{-1}=-1.$$

2. б)

   $$\log_{\frac12}\left(\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac12}\left(\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{6}\right)$$
   $$=\log_{\frac12}\left(\cos^2\frac{\pi}{6}-\sin^2\frac{\pi}{6}\right)$$
   $$=\log_{\frac12}\left(\cos\frac{\pi}{3}\right)=\log_{\frac12}\frac12=1.$$

3. в)

   $$\log_3\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)-\log_3\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right)$$
   $$=\log_3\frac{2\tg\frac{\pi}{6}}{1-\tg^2\frac{\pi}{6}}$$
   $$=\log_3\tg\frac{\pi}{3}=\log_3\sqrt3=\log_3 3^{1/2}=\frac12.$$

4. г)

   $$\log_{\frac{\sqrt3}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}\right)+\log_{\frac{\sqrt3}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}\right)$$
   $$=\log_{\frac{\sqrt3}{2}}\left(\cos^2\frac{\pi}{12}-\sin^2\frac{\pi}{12}\right)$$
   $$=\log_{\frac{\sqrt3}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6}\right)=\log_{\frac{\sqrt3}{2}}\frac{\sqrt3}{2}=1.$$

5. д)

   $$\log_{\frac12}\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)+\log_{\frac12}\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)-1$$
   $$=\log_{\frac12}\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)+\log_{\frac12}\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)-\log_{\frac12}\frac12$$
   $$=\log_{\frac12}\left(2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right)$$
   $$=\log_{\frac12}\left(\sin\frac{\pi}{6}\right)=\log_{\frac12}\frac12=1.$$

6. е)

   $$1+\log_2\left(\tg\frac{\pi}{8}\right)-\log_2\left(1-\tg^2\frac{\pi}{8}\right)$$
   $$=\log_2 2+\log_2\frac{\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}$$
   $$=\log_2\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}$$
   $$=\log_2\tg\frac{\pi}{4}=\log_2 1=0.$$

7. а) Для функции $$y=\ln x+1$$

   Производная:
   $$y’=\frac1x.$$
   Пусть касательная проходит через точку $$x=a$$. Тогда
   $$y(a)=\ln a+1,\qquad y'(a)=\frac1a.$$
   Уравнение касательной:
   $$y=\ln a+1+\frac1a(x-a)=\frac1a x+\ln a.$$
   Так как она проходит через начало координат, то
   $$0=\frac1a\cdot 0+\ln a,$$
   значит,
   $$\ln a=0,\qquad a=1.$$
   Тогда
   $$y=x.$$

8. б) Для функции $$y=\ln^2 x$$

   Производная:
   $$y’=\frac{2\ln x}{x}.$$
   Пусть касательная проходит через точку $$x=a$$. Тогда
   $$y(a)=\ln^2 a,\qquad y'(a)=\frac{2\ln a}{a}.$$
   Уравнение касательной:
   $$y=\ln^2 a+\frac{2\ln a}{a}(x-a)=\frac{2\ln a}{a}x+\ln^2 a-2\ln a.$$
   Так как она проходит через начало координат, то
   $$0=\ln^2 a-2\ln a,$$
   $$\ln a(\ln a-2)=0.$$
   Отсюда
   $$\ln a=0 \quad \text{или} \quad \ln a=2,$$
   значит,
   $$a=1 \quad \text{или} \quad a=e^2.$$
   При $$a=1$$:
   $$y=0.$$
   При $$a=e^2$$:
   $$y=\frac{2\cdot 2}{e^2}x=\frac{4x}{e^2}.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$1$$; в) $$\frac12$$; г) $$1$$; д) $$1$$; е) $$0$$.
Касательные: а) $$y=x$$; б) $$y=0$$ и $$y=\frac{4x}{e^2}$$.