Упр.14.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Составьте уравнение той касательной к графику заданной функции, которая отсекает от осей координат треугольник указанной площади $$S$$:
а) $$y=x\cdot x^{1/3}+1,\quad S=\frac{1}{6}$$;
б) $$y=x^{-2/3},\quad S=\frac{25}{12}$$. - а) Касательная к графику функции $$y=4^x-4\cdot 2^x-14x\ln(2)$$ параллельна прямой $$y=x\ln(4)$$. Найдите абсциссу точки касания.
б) Касательная к графику функции $$y=0{,}5\cdot 25^x+8\cdot 5^x$$ параллельна прямой $$y=9x\ln(5)$$. Составьте уравнение этой касательной.
а) $$y=x\sqrt[3]{x}+1,\quad S=\frac16.$$
Пусть касательная проведена в точке $$x=a.$$ Тогда
$$y’= \frac43\sqrt[3]{x},\qquad y(a)=a\sqrt[3]{a}+1,\qquad y'(a)=\frac43\sqrt[3]{a}.$$
Уравнение касательной:
$$y=a\sqrt[3]{a}+1+\frac43\sqrt[3]{a}(x-a) =\frac43\sqrt[3]{a}\,x-\frac13a\sqrt[3]{a}+1.$$
Найдём точки пересечения с осями:
$$x_0=\frac{1-\frac13a\sqrt[3]{a}}{\frac43\sqrt[3]{a}} =\frac34\cdot\frac1{\sqrt[3]{a}}-\frac a4, \qquad y_0=1-\frac13a\sqrt[3]{a}.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac12|x_0y_0|=\frac16.$$
Подставим выражения для отрезков:
$$\frac12\left|\left(\frac34\cdot\frac1{\sqrt[3]{a}}-\frac a4\right)\left(1-\frac13a\sqrt[3]{a}\right)\right|=\frac16.$$
Отсюда получаем $$a=1.$$ Тогда
$$y=\frac43x-\frac13+1=\frac43x+\frac23.$$
б) $$y=x^{-\frac23},\quad S=\frac{25}{12}.$$
Пусть касательная проведена в точке $$x=a.$$ Тогда
$$y’=-\frac23x^{-\frac53},\qquad y(a)=a^{-\frac23},\qquad y'(a)=-\frac23a^{-\frac53}.$$
Уравнение касательной:
$$y=a^{-\frac23}-\frac23a^{-\frac53}(x-a) =-\frac23a^{-\frac53}x+\frac53a^{-\frac23}.$$
Точки пересечения с осями:
$$x_0=\frac{\frac53a^{-\frac23}}{\frac23a^{-\frac53}}=\frac52a, \qquad y_0=\frac53a^{-\frac23}.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac12|x_0y_0| =\frac12\left|\frac52a\cdot\frac53a^{-\frac23}\right| =\frac{25}{12}.$$
Отсюда $$a=1.$$ Тогда
$$y=-\frac23x+\frac53.$$
а) $$y=4^x-4\cdot2^x-14x\ln2,$$ касательная параллельна прямой $$y=x\ln4.$$
Угловой коэффициент этой прямой равен $$\ln4=2\ln2.$$ Значит, производная в точке касания должна быть равна $$2\ln2.$$
$$y’=4^x\ln4-4\cdot2^x\ln2-14\ln2.$$
Приравняем к $$2\ln2$$:
$$4^x\ln4-4\cdot2^x\ln2-14\ln2=2\ln2.$$
Так как $$\ln4=2\ln2,$$ получаем
$$2\cdot4^x-4\cdot2^x-16=0.$$
Положим $$t=2^x>0.$$ Тогда $$4^x=t^2,$$ и
$$2t^2-4t-16=0 \quad\Rightarrow\quad t^2-2t-8=0 \quad\Rightarrow\quad (t-4)(t+2)=0.$$
С учётом $$t>0$$ получаем $$t=4,$$ то есть
$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$
б) $$y=0{,}5\cdot25^x+8\cdot5^x,$$ касательная параллельна прямой $$y=9x\ln5.$$
Значит, её угловой коэффициент равен $$9\ln5.$$ Найдём производную:
$$y’=0{,}5\cdot25^x\ln25+8\cdot5^x\ln5.$$
Так как $$\ln25=2\ln5,$$ то
$$y’=25^x\ln5+8\cdot5^x\ln5.$$
Приравняем к $$9\ln5$$:
$$25^x+8\cdot5^x=9.$$
Положим $$t=5^x>0.$$ Тогда $$25^x=t^2,$$ и
$$t^2+8t-9=0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)(t+9)=0.$$
С учётом $$t>0$$ получаем $$t=1,$$ значит
$$5^x=1 \Rightarrow x=0.$$
Найдём ординату точки касания:
$$y(0)=0{,}5\cdot1+8\cdot1=8{,}5.$$
Уравнение касательной:
$$y=9x\ln5+8{,}5.$$
Ответ
а) $$y=\frac43x+\frac23$$;
б) $$y=-\frac23x+\frac53$$;
а) $$x=2$$;
б) $$y=9x\ln5+8{,}5$$.
