Упр.14.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y = x x^(1/3) + 1, S = 1/6; б) y = x^(-2/3), S = 25/12. а) Касательная к графику функции y=4^x-4·2^x-14xln(2) параллельна прямой y=xln(4). Найдите абсциссу точки касания.
б) Касательная к графику функции y=0,5·25^x+8·5^x параллельна прямой y=9xln(5). Составьте уравнение этой касательной.
а) $$y=x\sqrt[3]{x}+1,\quad S=\frac16.$$
Пусть касательная проведена в точке $$x=a.$$ Тогда
$$y’= \frac43\sqrt[3]{x},\qquad y(a)=a\sqrt[3]{a}+1,\qquad y'(a)=\frac43\sqrt[3]{a}.$$
Уравнение касательной:
$$ y=a\sqrt[3]{a}+1+\frac43\sqrt[3]{a}(x-a) =\frac43\sqrt[3]{a}\,x-\frac13a\sqrt[3]{a}+1. $$
Найдём точки пересечения с осями:
$$ x_0=\frac{1-\frac13a\sqrt[3]{a}}{\frac43\sqrt[3]{a}} =\frac34\cdot\frac1{\sqrt[3]{a}}-\frac a4, \qquad y_0=1-\frac13a\sqrt[3]{a}. $$
Площадь треугольника:
$$ S=\frac12|x_0y_0|=\frac16. $$
Подставим выражения для отрезков:
$$ \frac12\left|\left(\frac34\cdot\frac1{\sqrt[3]{a}}-\frac a4\right)\left(1-\frac13a\sqrt[3]{a}\right)\right|=\frac16. $$
Отсюда получаем $$a=1.$$ Тогда
$$ y=\frac43x-\frac13+1=\frac43x+\frac23. $$
б) $$y=x^{-\frac23},\quad S=\frac{25}{12}.$$
Пусть касательная проведена в точке $$x=a.$$ Тогда
$$ y’=-\frac23x^{-\frac53},\qquad y(a)=a^{-\frac23},\qquad y'(a)=-\frac23a^{-\frac53}. $$
Уравнение касательной:
$$ y=a^{-\frac23}-\frac23a^{-\frac53}(x-a) =-\frac23a^{-\frac53}x+\frac53a^{-\frac23}. $$
Точки пересечения с осями:
$$ x_0=\frac{\frac53a^{-\frac23}}{\frac23a^{-\frac53}}=\frac52a, \qquad y_0=\frac53a^{-\frac23}. $$
Площадь треугольника:
$$ S=\frac12|x_0y_0| =\frac12\left|\frac52a\cdot\frac53a^{-\frac23}\right| =\frac{25}{12}. $$
Отсюда $$a=1.$$ Тогда
$$ y=-\frac23x+\frac53. $$
а) $$y=4^x-4\cdot2^x-14x\ln2,$$ касательная параллельна прямой $$y=x\ln4.$$
Угловой коэффициент этой прямой равен $$\ln4=2\ln2.$$ Значит, производная в точке касания должна быть равна $$2\ln2.$$
$$ y’=4^x\ln4-4\cdot2^x\ln2-14\ln2. $$
Приравняем к $$2\ln2$$:
$$ 4^x\ln4-4\cdot2^x\ln2-14\ln2=2\ln2. $$
Так как $$\ln4=2\ln2,$$ получаем
$$ 2\cdot4^x-4\cdot2^x-16=0. $$
Положим $$t=2^x>0.$$ Тогда $$4^x=t^2,$$ и
$$ 2t^2-4t-16=0 \quad\Rightarrow\quad t^2-2t-8=0 \quad\Rightarrow\quad (t-4)(t+2)=0. $$
С учётом $$t>0$$ получаем $$t=4,$$ то есть
$$ 2^x=4 \Rightarrow x=2. $$
б) $$y=0{,}5\cdot25^x+8\cdot5^x,$$ касательная параллельна прямой $$y=9x\ln5.$$
Значит, её угловой коэффициент равен $$9\ln5.$$ Найдём производную:
$$ y’=0{,}5\cdot25^x\ln25+8\cdot5^x\ln5. $$
Так как $$\ln25=2\ln5,$$ то
$$ y’=25^x\ln5+8\cdot5^x\ln5. $$
Приравняем к $$9\ln5$$:
$$ 25^x+8\cdot5^x=9. $$
Положим $$t=5^x>0.$$ Тогда $$25^x=t^2,$$ и
$$ t^2+8t-9=0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)(t+9)=0. $$
С учётом $$t>0$$ получаем $$t=1,$$ значит
$$ 5^x=1 \Rightarrow x=0. $$
Найдём ординату точки касания:
$$ y(0)=0{,}5\cdot1+8\cdot1=8{,}5. $$
Уравнение касательной:
$$ y=9x\ln5+8{,}5. $$
Ответ
а) $$y=\frac43x+\frac23$$;
б) $$y=-\frac23x+\frac53$$;
а) $$x=2$$;
б) $$y=9x\ln5+8{,}5$$.
