Упр.14.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) f(x)=-xvx-4; б) y=(x^2)^(1/3)-3. Составьте уравнение касательной к графику функции y=g(x) в точке x=a:
а) g(x)=log_3(x), a=9;
б) g(x)=x^(1/3)ln(x), a=1;
в) g(x)=(x-2)log_2(x), a=2;
г) g(x)=lg(x), a=1;
д) g(x)=x^(-2)ln(x), a=1;
е) g(x)=(5x-1)log_5(x), a=1/5.
а) $$f(x)=-x\sqrt{x}-4$$
Пусть касательная проходит через точку $$N(0;0)$$ и касается графика в точке $$x=a$$.
Тогда
$$f(a)=-a\sqrt{a}-4,$$
$$f'(x)=-\frac{3}{2}\sqrt{x}, \qquad f'(a)=-\frac{3}{2}\sqrt{a}.$$
Уравнение касательной:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
Так как она проходит через $$N(0;0)$$, получаем
$$0=-a\sqrt{a}-4-\frac{3}{2}\sqrt{a}(0-a).$$
$$0=-a\sqrt{a}-4+\frac{3}{2}a\sqrt{a}$$
$$\frac{1}{2}a\sqrt{a}=4,$$
$$a\sqrt{a}=8,$$
$$a^{3/2}=8,$$
$$a=4.$$
Тогда
$$y=-4\sqrt{4}-4-\frac{3}{2}\sqrt{4}(x-4)=-12-3(x-4)=-3x.$$
б) $$f(x)=\sqrt[3]{x^2}-3=x^{2/3}-3$$
$$f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}, \qquad f'(a)=\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}.$$
Уравнение касательной:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
Так как касательная проходит через $$N(0;0)$$, то
$$0=\sqrt[3]{a^2}-3-\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}\,a.$$
Так как $$\dfrac{a}{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[3]{a^2},$$ получаем
$$0=\sqrt[3]{a^2}-3-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2}$$
$$\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^2}=3,$$
$$\sqrt[3]{a^2}=9,$$
$$a^2=729,$$
$$a=\pm 27.$$
Тогда угловой коэффициент касательной:
$$k=f'(a)=\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}=\pm \frac{2}{9}.$$
Следовательно,
$$y=\pm \frac{2}{9}x.$$
а) $$g(x)=\log_3 x,\quad a=9$$
$$g'(x)=\frac{1}{x\ln 3}, \qquad g'(9)=\frac{1}{9\ln 3}, \qquad g(9)=2.$$
$$y=2+\frac{1}{9\ln 3}(x-9)=\frac{1}{9\ln 3}x-\frac{1}{\ln 3}+2.$$
б) $$g(x)=\sqrt[3]{x}\ln x,\quad a=1$$
$$g'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\ln x+x^{1/3}\cdot \frac{1}{x},$$
$$g'(1)=1,\qquad g(1)=0.$$
$$y=x-1.$$
в) $$g(x)=(x-2)\log_2 x,\quad a=2$$
$$g'(x)=\log_2 x+(x-2)\cdot \frac{1}{x\ln 2},$$
$$g'(2)=1,\qquad g(2)=0.$$
$$y=x-2.$$
г) $$g(x)=\lg x,\quad a=1$$
$$g'(x)=\frac{1}{x\ln 10}, \qquad g'(1)=\frac{1}{\ln 10}, \qquad g(1)=0.$$
$$y=\frac{1}{\ln 10}(x-1).$$
д) $$g(x)=x^{-2}\ln x,\quad a=1$$
$$g'(x)=-2x^{-3}\ln x+x^{-2}\cdot \frac{1}{x},$$
$$g'(1)=1,\qquad g(1)=0.$$
$$y=x-1.$$
е) $$g(x)=(5x-1)\log_5 x,\quad a=\frac{1}{5}$$
$$g'(x)=5\log_5 x+(5x-1)\cdot \frac{1}{x\ln 5},$$
$$g’\!\left(\frac{1}{5}\right)=-5,\qquad g\!\left(\frac{1}{5}\right)=0.$$
$$y=-5\left(x-\frac{1}{5}\right)=1-5x.$$
Ответ
1) а) $$y=-3x$$; б) $$y=\pm \frac{2}{9}x$$.
2) а) $$y=\frac{1}{9\ln 3}x-\frac{1}{\ln 3}+2$$; б) $$y=x-1$$; в) $$y=x-2$$; г) $$y=\frac{1}{\ln 10}(x-1)$$; д) $$y=x-1$$; е) $$y=1-5x$$.
