Упр.14.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:
а) $$y=\sin^5 x,\quad x=\frac{3\pi}{4};$$
б) $$y=\frac{1}{\sqrt{\arccos x}},\quad x=0;$$
в) $$y=(2\sin 3x+3\cos 2x)^5,\quad x=0;$$
г) $$y=\frac{1}{\cos^7 x},\quad x=\frac{7\pi}{6};$$
д) $$y=(\operatorname{arcctg}x)^{\frac{1}{3}},\quad x=-1;$$
е) $$y=(\operatorname{tg}2x+\operatorname{ctg}4x)^6,\quad x=\frac{\pi}{8}.$$ - а) Найдите точку графика функции $$y=2e^{4-0{,}5x},$$ в которой касательная образует с осью $$x$$ угол $$\alpha=135^\circ$$.
б) Найдите точку графика функции $$y=-\sqrt{3}\ln x,$$ в которой касательная образует с осью $$x$$ угол $$\alpha=150^\circ$$.
а) $$y=\sin^5 x,\quad x=\frac{3\pi}{4}$$
По правилу производной сложной функции:
$$y’=(\sin x)^5{}’ = 5\sin^4 x\cdot \cos x.$$
Подставим $$x=\frac{3\pi}{4}$$:
$$y’\left(\frac{3\pi}{4}\right)=5\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^4\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{5\sqrt2}{8}.$$
б) $$y=\frac{1}{\sqrt{\arccos x}},\quad x=0$$
Запишем функцию в виде степени:
$$y=(\arccos x)^{-\frac12}.$$
Тогда
$$y’=-\frac12(\arccos x)^{-\frac32}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}\,(\arccos x)^{\frac32}}.$$
При $$x=0$$ имеем $$\arccos 0=\frac{\pi}{2}$$, значит
$$y'(0)=\frac{1}{2\left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac32}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt{\pi^3}}.$$
в) $$y=(2\sin 3x+3\cos 2x)^5,\quad x=0$$
По правилу цепочки:
$$y’=5(2\sin 3x+3\cos 2x)^4\cdot(6\cos 3x-6\sin 2x).$$
Подставим $$x=0$$:
$$y'(0)=5(0+3)^4\cdot(6-0)=5\cdot 81\cdot 6=2430.$$
г) $$y=\frac{1}{\cos^7 x},\quad x=\frac{7\pi}{6}$$
Перепишем:
$$y=\cos^{-7}x.$$
Тогда
$$y’=-7\cos^{-8}x\cdot(-\sin x)=\frac{7\sin x}{\cos^8 x}.$$
При $$x=\frac{7\pi}{6}$$:
$$\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12,\qquad \cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно,
$$y’\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{7\cdot\left(-\frac12\right)}{\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^8}=-\frac{896}{81}.$$
д) $$y=\sqrt[3]{\operatorname{arcctg}x},\quad x=-1$$
Запишем как степень:
$$y=(\operatorname{arcctg}x)^{\frac13}.$$
Тогда
$$y’=\frac13(\operatorname{arcctg}x)^{-\frac23}\cdot\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)=-\frac{1}{3(1+x^2)\sqrt[3]{(\operatorname{arcctg}x)^2}}.$$
При $$x=-1$$:
$$\operatorname{arcctg}(-1)=\frac{3\pi}{4},\qquad 1+(-1)^2=2.$$
Значит,
$$y'(-1)=-\frac{1}{6\sqrt[3]{\left(\frac{3\pi}{4}\right)^2}}=-\frac{\sqrt[3]{16}}{6\sqrt[3]{9\pi^2}}.$$
е) $$y=(\tg 2x+\ctg 4x)^6,\quad x=\frac{\pi}{8}$$
По правилу цепочки:
$$y’=6(\tg 2x+\ctg 4x)^5\left(\frac{2}{\cos^2 2x}-\frac{4}{\sin^2 4x}\right).$$
При $$x=\frac{\pi}{8}$$:
$$\tg\frac{\pi}{4}=1,\qquad \ctg\frac{\pi}{2}=0,$$
$$\cos^2\frac{\pi}{4}=\frac12,\qquad \sin^2\frac{\pi}{2}=1.$$
Тогда
$$y’\left(\frac{\pi}{8}\right)=6(1+0)^5\left(\frac{2}{1/2}-\frac{4}{1}\right)=6(4-4)=0.$$
а) $$y=2e^{4-0{,}5x},\quad \alpha=135^\circ$$
Угол наклона касательной связан с производной формулой $$y’=\tg\alpha$$. Тогда
$$y’=\tg 135^\circ=-1.$$
Найдём производную:
$$y’ = 2e^{4-0{,}5x}\cdot(-0{,}5)=-e^{4-0{,}5x}.$$
Приравниваем:
$$-e^{4-0{,}5x}=-1,$$
$$e^{4-0{,}5x}=1,$$
$$4-0{,}5x=0,$$
$$x=8.$$
Тогда
$$y=2e^{4-4}=2.$$
Искомая точка: $$\left(8;2\right).$$
б) $$y=-\sqrt3\ln x,\quad \alpha=150^\circ$$
Снова используем $$y’=\tg\alpha$$:
$$y’=\tg 150^\circ=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
Производная функции:
$$y’=-\sqrt3\cdot\frac{1}{x}=-\frac{\sqrt3}{x}.$$
Приравниваем:
$$-\frac{\sqrt3}{x}=-\frac{1}{\sqrt3},$$
$$x=3.$$
Тогда
$$y=-\sqrt3\ln 3.$$
Искомая точка: $$\left(3;-\sqrt3\ln 3\right).$$
Ответ
а) $$-\frac{5\sqrt2}{8}$$; б) $$\frac{\sqrt2}{\sqrt{\pi^3}}$$; в) $$2430$$; г) $$-\frac{896}{81}$$; д) $$-\frac{\sqrt[3]{16}}{6\sqrt[3]{9\pi^2}}$$; е) $$0$$; а) $$\left(8;2\right)$$; б) $$\left(3;-\sqrt3\ln 3\right)$$.
