Упр.14.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = (sin 6x + 3x)^(1/3); б) y = 1 / arctg^3 x;
в) y = tg (2x^5 — 3x^4 + 5/x); г) y = (cos (x/2 + 3))^(0,8);
д) y = arcsin^8 (x/4); е) y = ctg ((3x — 1) / (2x + 5)). Найдите угловой коэффициент касательной к графику заданной функции в точке x_0:
а) y=x^2/ln(x), x_0=e;
б) y=x^3ln(x), x_0=1;
в) y=(x^2-4)lg(x+2), x_0=-1;
г) y=ln(x)/vx, x_0=4;
д) y=xlg(x), x_0=1;
е) y=(x^2-1)log_2(x-1), x_0=2.

1. Найдём производные функций:

   а) $$y=\sqrt[3]{\sin 6x+3x}=(\sin 6x+3x)^{\frac13}$$

   $$y’=\frac13(\sin 6x+3x)^{-\frac23}(6\cos 6x+3)=\frac{2\cos 6x+1}{\sqrt[3]{(\sin 6x+3x)^2}}.$$

   б) $$y=\frac{1}{\operatorname{arctg}^3 x}=(\operatorname{arctg}x)^{-3}$$

   $$y’=-3(\operatorname{arctg}x)^{-4}\cdot \frac{1}{1+x^2} =-\frac{3}{(1+x^2)\operatorname{arctg}^4 x}.$$

   в) $$y=\tg\left(2x^5-3x^4+\frac{5}{x}\right)$$

   $$ y’=\frac{1}{\cos^2\left(2x^5-3x^4+\frac{5}{x}\right)} \left(10x^4-12x^3-\frac{5}{x^2}\right). $$

   г) $$y=\left(\cos\frac{x}{2}+3\right)^{0,8}$$

   $$ y’=0,8\left(\cos\frac{x}{2}+3\right)^{-0,2}\cdot\left(-\frac12\sin\frac{x}{2}\right) =-\frac{2\sin\frac{x}{2}}{5\sqrt[5]{\cos\frac{x}{2}+3}}. $$

   д) $$y=\arcsin^8\frac{x}{4}$$

   $$ y’=8\arcsin^7\frac{x}{4}\cdot \frac{1}{4\sqrt{1-\left(\frac{x}{4}\right)^2}} =\frac{8\arcsin^7\frac{x}{4}}{\sqrt{16-x^2}}. $$

   е) $$y=\ctg\left(\frac{3x-1}{2x+5}\right)$$

   $$ y’=-\frac{1}{\sin^2\left(\frac{3x-1}{2x+5}\right)}\cdot \left(\frac{3x-1}{2x+5}\right)’ $$
   $$ \left(\frac{3x-1}{2x+5}\right)’= \frac{3(2x+5)-2(3x-1)}{(2x+5)^2}=\frac{17}{(2x+5)^2}, $$
   значит
   $$ y’=-\frac{17}{(2x+5)^2\sin^2\left(\frac{3x-1}{2x+5}\right)}. $$

2. Найдём угловой коэффициент касательной, то есть значение производной в точке $x_0$.

   а) $$y=\frac{x^2}{\ln x}, \quad x_0=e$$

   $$ y’=\frac{2x\ln x-x^2\cdot \frac1x}{\ln^2 x} =\frac{2x\ln x-x}{\ln^2 x}, $$
   $$ y'(e)=\frac{2e\cdot 1-e}{1^2}=e. $$

   б) $$y=x^3\ln x, \quad x_0=1$$

   $$ y’=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac1x=3x^2\ln x+x^2, $$
   $$ y'(1)=3\cdot 1^2\cdot 0+1^2=1. $$

   в) $$y=(x^2-4)\lg(x+2), \quad x_0=-1$$

   $$ y’=2x\lg(x+2)+(x^2-4)\cdot \frac{1}{(x+2)\ln 10}, $$
   $$ y'(-1)=2\cdot(-1)\cdot \lg 1+\frac{1-4}{1\cdot \ln 10} =-\frac{3}{\ln 10}. $$

   г) $$y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}, \quad x_0=4$$

   $$ y’=\frac{\frac1x\sqrt{x}-\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} =\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}, $$
   $$ y'(4)=\frac{2-\ln 4}{2\cdot 4\cdot 2} =\frac{1-\ln 2}{8}. $$

   д) $$y=x\lg x, \quad x_0=1$$

   $$ y’=\lg x+x\cdot \frac{1}{x\ln 10}=\lg x+\frac{1}{\ln 10}, $$
   $$ y'(1)=0+\frac{1}{\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}. $$

   е) $$y=(x^2-1)\log_2(x-1), \quad x_0=2$$

   $$ y’=2x\log_2(x-1)+(x^2-1)\cdot \frac{1}{(x-1)\ln 2}, $$
   $$ y'(2)=4\cdot 0+\frac{4-1}{1\cdot \ln 2}=\frac{3}{\ln 2}. $$

Ответ

1) а) $$\frac{2\cos 6x+1}{\sqrt[3]{(\sin 6x+3x)^2}}$$; б) $$-\frac{3}{(1+x^2)\operatorname{arctg}^4 x}$$; в) $$\frac{10x^4-12x^3-\frac{5}{x^2}}{\cos^2\left(2x^5-3x^4+\frac{5}{x}\right)}$$; г) $$-\frac{2\sin\frac{x}{2}}{5\sqrt[5]{\cos\frac{x}{2}+3}}$$; д) $$\frac{8\arcsin^7\frac{x}{4}}{\sqrt{16-x^2}}$$; е) $$-\frac{17}{(2x+5)^2\sin^2\left(\frac{3x-1}{2x+5}\right)}$$.

2) а) $$e$$; б) $$1$$; в) $$-\frac{3}{\ln 10}$$; г) $$\frac{1-\ln 2}{8}$$; д) $$\frac{1}{\ln 10}$$; е) $$\frac{3}{\ln 2}$$.