Дополнительная задача 14 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Какие из следующих функций являются решением дифференциального уравнения $$y’=2y$$, а какие не являются: а) $$y=2+e^x$$; б) $$y=1+2e^x$$; в) $$y=e^{2x}$$; г) $$y=-2e^{2x}$$; д) $$y=2e^{-2x}$$; е) $$y=e^x+e^{-x}$$?
Проверим каждую функцию подстановкой в уравнение $$y’=2y$$.
а) $$y=2+e^x$$
$$y’=e^x,$$
$$2y=2(2+e^x)=4+2e^x.$$
Так как $$y’ \ne 2y,$$ функция не является решением.
б) $$y=1+2e^x$$
$$y’=2e^x,$$
$$2y=2(1+2e^x)=2+4e^x.$$
Так как $$y’ \ne 2y,$$ функция не является решением.
в) $$y=e^{2x}$$
$$y’=2e^{2x},$$
$$2y=2e^{2x}.$$
Следовательно, функция является решением.
г) $$y=-2e^{2x}$$
$$y’=-4e^{2x},$$
$$2y=2(-2e^{2x})=-4e^{2x}.$$
Следовательно, функция является решением.
д) $$y=2e^{-2x}$$
$$y’=-4e^{-2x},$$
$$2y=4e^{-2x}.$$
Так как $$y’ \ne 2y,$$ функция не является решением.
е) $$y=e^x+e^{-x}$$
$$y’=e^x-e^{-x},$$
$$2y=2e^x+2e^{-x}.$$
Так как $$y’ \ne 2y,$$ функция не является решением.
Ответ
Решениями дифференциального уравнения являются функции в) $$y=e^{2x}$$ и г) $$y=-2e^{2x}$$.
