Упр.14.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) h(x)=x^4-4x^3-4x^2+1, a=-1;
б) h(x)=((3x+2)^2)^(1/3), a=2;
в) h(x)=(3x-1)^(1/3)+2, a=2/3;
г) h(x)=-x^5+7x^3-x+2, a=0;
д) h(x)=-3(x-v2)^(-1/3), a=v2+1;
е) h(x)=5((3x-2)^2)^(1/5)-5x, a=1/3. Через какую точку графика функции y=e^(3x+4) надо провести касательную, чтобы она проходила через начало координат? Составьте уравнение этой касательной.
а) $$h(x)=x^4-4x^3-4x^2+1,\quad a=-1.$$
Найдём производную:
$$h'(x)=4x^3-12x^2-8x.$$
Тогда
$$h'(-1)=4\cdot(-1)^3-12\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)=-4-12+8=-8.$$
Угол наклона касательной:
$$\tan \alpha=-8,$$
значит
$$\alpha=\pi-\arctg 8.$$
б) $$h(x)=\sqrt[3]{(3x+2)^2},\quad a=2.$$
Запишем функцию в степенном виде:
$$h(x)=(3x+2)^{\frac23}.$$
Тогда
$$h'(x)=\frac23(3x+2)^{-\frac13}\cdot 3=2(3x+2)^{-\frac13}.$$
Подставим $$x=2$$:
$$h'(2)=2\cdot 8^{-\frac13}=2\cdot \frac12=1.$$
Следовательно,
$$\tan \alpha=1,\quad \alpha=45^\circ.$$
в) $$h(x)=(3x-1)^{\frac13}+2,\quad a=\frac23.$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\frac13(3x-1)^{-\frac23}\cdot 3=(3x-1)^{-\frac23}.$$
Тогда
$$h’\!\left(\frac23\right)=\left(3\cdot \frac23-1\right)^{-\frac23}=1^{-\frac23}=1.$$
Значит,
$$\alpha=45^\circ.$$
г) $$h(x)=-x^5+7x^3-x+2,\quad a=0.$$
Производная:
$$h'(x)=-5x^4+21x^2-1.$$
Подставим $$x=0$$:
$$h'(0)=-1.$$
Тогда
$$\tan \alpha=-1,\quad \alpha=135^\circ.$$
д) $$h(x)=-3(x-\sqrt2)^{-\frac13},\quad a=\sqrt2+1.$$
Найдём производную:
$$h'(x)=-3\cdot\left(-\frac13\right)(x-\sqrt2)^{-\frac43}=(x-\sqrt2)^{-\frac43}.$$
Тогда
$$h'(\sqrt2+1)=1^{-\frac43}=1.$$
Следовательно,
$$\alpha=45^\circ.$$
е) $$h(x)=5\sqrt[5]{(3x-2)^2}-5x,\quad a=\frac13.$$
Запишем:
$$h(x)=5(3x-2)^{\frac25}-5x.$$
Тогда
$$h'(x)=5\cdot \frac25(3x-2)^{-\frac35}\cdot 3-5=6(3x-2)^{-\frac35}-5.$$
Подставим $$x=\frac13$$:
$$h’\!\left(\frac13\right)=6(-1)^{-\frac35}-5=-6-5=-11.$$
Значит,
$$\tan \alpha=-11,\quad \alpha=\pi-\arctg 11.$$
Касательная к графику $$y=e^{3x+4}$$, проходящая через начало координат
Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$x=a$$. Тогда
$$y(a)=e^{3a+4},\qquad y'(x)=3e^{3x+4},\qquad y'(a)=3e^{3a+4}.$$
Уравнение касательной:
$$y=e^{3a+4}+3e^{3a+4}(x-a).$$
Так как она проходит через начало координат $$O(0;0)$$, подставим $$x=0,\ y=0$$:
$$0=e^{3a+4}-3ae^{3a+4}.$$
$$e^{3a+4}(1-3a)=0.$$
Так как $$e^{3a+4}\neq 0$$, получаем
$$1-3a=0,\quad a=\frac13.$$
Точка касания:
$$\left(\frac13,\ e^5\right).$$
Уравнение касательной:
$$y=e^5+3e^5\left(x-\frac13\right)=3e^5x.$$
Ответ
а) $$\pi-\arctg 8$$; б) $$45^\circ$$; в) $$45^\circ$$; г) $$135^\circ$$; д) $$45^\circ$$; е) $$\pi-\arctg 11$$; касательная проходит через точку $$\left(\frac13,\ e^5\right)$$, её уравнение: $$y=3e^5x$$.
