Упр.14.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- а) Докажите, что касательную к графику функции $$y=x^4$$ в точке $$a>0$$ можно построить так: разделить отрезок $$[0;a]$$ на 4 равные части и провести прямую через точки $$\left(\frac{3a}{4};0\right)$$ и $$\left(a;a^4\right)$$.
б) Докажите, что касательную к графику функции $$y=x^5$$ в точке $$a>0$$ можно построить так: разделить отрезок $$[0;a]$$ на 5 равных частей и провести прямую через точки $$\left(\frac{4a}{5};0\right)$$ и $$\left(a;a^5\right)$$.
в) Ссылаясь на пример 4 из § 9 и результаты пунктов а) и б), сформулируйте гипотезу о геометрическом способе построения касательной к графику функции $$y=x^n$$, $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\geq 2$$, в точке $$a>0$$ и докажите свою гипотезу. - Найдите значение производной данной функции в точке $$x_0$$:
а) $$y=x^3+\ln(x)$$, $$x_0=1$$;
б) $$y=\log_3(x)+1$$, $$x_0=3$$;
в) $$y=x^4-\ln(x)$$, $$x_0=1$$;
г) $$y=\log_{0,5}(x)+x$$, $$x_0=4$$.
а) Для функции $$y=x^4$$ имеем $$y’=4x^3.$$
В точке $$x=a$$:
$$y(a)=a^4,\qquad y'(a)=4a^3.$$
Уравнение касательной:
$$y-a^4=4a^3(x-a),$$
то есть
$$y=4a^3x-3a^4.$$
Найдём точку пересечения этой касательной с осью $$Ox$$:
$$4a^3x-3a^4=0,$$
$$x=\frac{3a}{4}.$$
Значит, касательная проходит через точки $$\left(\frac{3a}{4};0\right)$$ и $$\left(a;a^4\right)$$. Следовательно, её можно построить, разделив отрезок $$[0;a]$$ на 4 равные части и взяв точку, отстоящую от $$a$$ на одну четверть отрезка.
б) Для функции $$y=x^5$$ имеем $$y’=5x^4.$$
В точке $$x=a$$:
$$y(a)=a^5,\qquad y'(a)=5a^4.$$
Уравнение касательной:
$$y-a^5=5a^4(x-a),$$
то есть
$$y=5a^4x-4a^5.$$
Найдём точку пересечения с осью $$Ox$$:
$$5a^4x-4a^5=0,$$
$$x=\frac{4a}{5}.$$
Значит, касательная проходит через точки $$\left(\frac{4a}{5};0\right)$$ и $$\left(a;a^5\right)$$. Следовательно, её можно построить, разделив отрезок $$[0;a]$$ на 5 равных частей и взяв точку, отстоящую от $$a$$ на одну пятую отрезка.
в) Для функции $$y=x^n$$, где $$n\in\mathbb N,\ n\ge 2,$$ имеем
$$y’=nx^{n-1}.$$
В точке $$x=a$$:
$$y(a)=a^n,\qquad y'(a)=na^{n-1}.$$
Уравнение касательной:
$$y-a^n=na^{n-1}(x-a),$$
то есть
$$y=na^{n-1}x-(n-1)a^n.$$
Точка пересечения с осью $$Ox$$ находится из уравнения
$$na^{n-1}x-(n-1)a^n=0,$$
откуда
$$x=\frac{n-1}{n}a.$$
Итак, гипотеза такова: чтобы построить касательную к графику функции $$y=x^n$$ в точке $$a>0$$, нужно разделить отрезок $$[0;a]$$ на $$n$$ равных частей и провести прямую через точки $$\left(\frac{n-1}{n}a;0\right)$$ и $$\left(a;a^n\right)$$.
Это и есть общий вид касательной, поэтому гипотеза доказана.
Найдём значения производной в точке $$x_0$$.
а) $$y=x^3+\ln x,\quad x_0=1.$$
$$y’=3x^2+\frac1x,$$
$$y'(1)=3\cdot 1^2+\frac11=4.$$
б) $$y=\log_3 x+1,\quad x_0=3.$$
$$y’=\frac{1}{x\ln 3},$$
$$y'(3)=\frac{1}{3\ln 3}=\frac{1}{\ln 27}.$$
в) $$y=x^4-\ln x,\quad x_0=1.$$
$$y’=4x^3-\frac1x,$$
$$y'(1)=4\cdot 1^3-\frac11=3.$$
г) $$y=\log_{0,5}x+x,\quad x_0=4.$$
$$y’=\frac{1}{x\ln 0,5}+1=\frac{1}{x\ln \frac12}+1,$$
$$y'(4)=\frac{1}{4\ln \frac12}+1=1-\frac{1}{4\ln 2}.$$
Ответ
а) $$\left(\frac{3a}{4};0\right)$$ и $$\left(a;a^4\right)$$; б) $$\left(\frac{4a}{5};0\right)$$ и $$\left(a;a^5\right)$$; в) касательная к графику $$y=x^n$$ в точке $$a>0$$ проходит через точки $$\left(\frac{n-1}{n}a;0\right)$$ и $$\left(a;a^n\right)$$.
а) $$4$$; б) $$\frac{1}{\ln 27}$$; в) $$3$$; г) $$1-\frac{1}{4\ln 2}$$.
