Упр.14.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y’<0, если y=-x^4+x^3-4;
б) y'>0, если y=x^3/3-3x^2+9x+7;
в) y’?0, если y=0,6x^(1 2/3)+1,5x^(1+1/3)-1;
г) y’>0, если y=x^4+x^3+6;
д) y’<0, если y=x^3/3-x^2+x-1;
е) y'?0, если y=(2/5)x^1,25-1 (2/3)x^0,75. Найдите производную функции:
а) y=log_2(4x+1); г) y=log_5(3-2x);
б) y=log_0,2(4-5x); д) y=log_(1/3)(3x-2);
в) y=lg(-x); е) y=log_0,1(10x).
а) $$y=-x^4+x^3-4$$
$$y’=-4x^3+3x^2$$
Решаем неравенство:
$$-4x^3+3x^2<0$$
$$x^2(3-4x)<0$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то произведение отрицательно при $$x\ne 0$$ и $$3-4x<0$$, то есть $$x>\frac34$$.
$$x\in\left(\frac34;+\infty\right)$$
б) $$y=\frac{x^3}{3}-3x^2+9x+7$$
$$y’=x^2-6x+9$$
Решаем неравенство:
$$x^2-6x+9>0$$
$$\left(x-3\right)^2>0$$
Квадрат положителен при всех $$x$$, кроме $$x=3$$.
$$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$
в) $$y=0{,}6x^{1\frac23}+1{,}5x^{1\frac13}-1$$
$$y’=0{,}6\cdot\frac53x^{\frac23}+1{,}5\cdot\frac43x^{\frac13}$$
$$y’=x^{\frac23}+2x^{\frac13}$$
Решаем неравенство:
$$x^{\frac23}+2x^{\frac13}\le 0$$
$$x^{\frac13}\left(x^{\frac13}+2\right)\le 0$$
Положим $$t=x^{\frac13}$$. Тогда
$$t(t+2)\le 0$$
$$t\in[-2;0]$$
Следовательно,
$$x\in[-8;0]$$
г) $$y=x^4+x^3+6$$
$$y’=4x^3+3x^2$$
Решаем неравенство:
$$4x^3+3x^2>0$$
$$x^2(4x+3)>0$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то нужно, чтобы $$4x+3>0$$, то есть $$x>-\frac34$$, и при этом $$x\ne 0$$.
$$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty)$$
д) $$y=\frac{x^3}{3}-x^2+x-1$$
$$y’=x^2-2x+1$$
Решаем неравенство:
$$x^2-2x+1<0$$
$$\left(x-1\right)^2<0$$
Квадрат числа не может быть отрицательным, значит, решений нет.
е) $$y=\frac25x^{1{,}25}-1\frac23x^{0{,}75}$$
$$y’=\frac25\cdot1{,}25x^{0{,}25}-\frac53\cdot0{,}75x^{-0{,}25}$$
$$y’=0{,}5x^{0{,}25}-1{,}25x^{-0{,}25}$$
Решаем неравенство:
$$0{,}5x^{0{,}25}-1{,}25x^{-0{,}25}\ge 0$$
Умножим на $$2x^{0{,}25}$$, учитывая, что $$x>0$$:
$$x^{0{,}5}-2{,}5\ge 0$$
$$\sqrt{x}\ge 2{,}5$$
$$x\ge 6{,}25$$
$$x\in[6{,}25;+\infty)$$
Найти производную:
а) $$y=\log_2(4x+1)$$
$$y’=\frac{4}{(4x+1)\ln 2}$$
б) $$y=\log_{0{,}2}(4-5x)$$
$$y’=\frac{-5}{(4-5x)\ln 0{,}2}=\frac{5}{(4-5x)\ln 5}$$
в) $$y=\lg(-x)$$
$$y’=\frac{-1}{x\ln 10}$$
г) $$y=\log_5(3-2x)$$
$$y’=\frac{-2}{(3-2x)\ln 5}=\frac{2}{(2x-3)\ln 5}$$
д) $$y=\log_{\frac13}(3x-2)$$
$$y’=\frac{3}{(3x-2)\ln\frac13}=\frac{3}{(2-3x)\ln 3}$$
е) $$y=\log_{0{,}1}(10x)$$
$$y’=\frac{10}{10x\ln 0{,}1}=-\frac{1}{x\ln 10}$$
Ответ
а) $$\left(\frac34;+\infty\right)$$;
б) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$;
в) $$[-8;0]$$;
г) $$\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty)$$;
д) решений нет;
е) $$[6{,}25;+\infty)$$.
Производные:
а) $$\frac{4}{(4x+1)\ln 2}$$;
б) $$\frac{5}{(4-5x)\ln 5}$$;
в) $$-\frac{1}{x\ln 10}$$;
г) $$\frac{2}{(2x-3)\ln 5}$$;
д) $$\frac{3}{(2-3x)\ln 3}$$;
е) $$-\frac{1}{x\ln 10}$$.
