Упр.14.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение $$f'(x)=b$$, если:
а) $$f(x)=\frac{1}{4}x^4+x^2-5$$, $$b=0$$;
г) $$f(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3+8$$, $$b=0$$;
б) $$f(x)=\frac{2}{3}(4-3x)^{1/2}$$, $$b=-1$$;
д) $$f(x)=(2x+5)^{-1/2}$$, $$b=-8$$;
в) $$f(x)=\frac{1}{3}x\sqrt{x}-2x$$, $$b=3$$;
е) $$f(x)=1{,}5(x^2)^{1/3}-x$$, $$b=1$$. - Найдите производную функции:
а) $$y=\log_3(x)$$;
в) $$y=\frac{1}{\log_2(x)}$$;
д) $$y=x^3\lg(x)$$;
б) $$y=\log_{0{,}5}(x)$$;
г) $$y=\frac{2}{\log_5(x)}$$;
е) $$y=\frac{x}{\lg(x)}$$.
а) $$f(x)=\frac14x^4+x^2-5,\quad b=0$$
$$f'(x)=\frac14\cdot 4x^3+2x=x^3+2x$$
Решаем уравнение:
$$x^3+2x=0$$
$$x(x^2+2)=0$$
Так как $$x^2+2\neq 0$$ при любых действительных $$x$$, то
$$x=0$$
б) $$f(x)=\frac23\sqrt{4-3x},\quad b=-1$$
$$f'(x)=\frac23\cdot \frac12(4-3x)^{-1/2}\cdot(-3)=-\frac1{\sqrt{4-3x}}$$
Решаем уравнение:
$$-\frac1{\sqrt{4-3x}}=-1$$
$$\sqrt{4-3x}=1$$
$$4-3x=1$$
$$x=1$$
в) $$f(x)=\frac13x\sqrt{x}-2x,\quad b=3$$
$$f'(x)=\frac13\cdot \frac32x^{1/2}-2=\frac12\sqrt{x}-2$$
Решаем уравнение:
$$\frac12\sqrt{x}-2=3$$
$$\frac12\sqrt{x}=5$$
$$\sqrt{x}=10$$
$$x=100$$
г) $$f(x)=\frac14x^4-x^3+8,\quad b=0$$
$$f'(x)=\frac14\cdot 4x^3-3x^2=x^3-3x^2$$
Решаем уравнение:
$$x^3-3x^2=0$$
$$x^2(x-3)=0$$
Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=3$$
д) $$f(x)=(2x+5)^{-1/2},\quad b=-8$$
$$f'(x)=-\frac12(2x+5)^{-3/2}\cdot 2=-(2x+5)^{-3/2}$$
Решаем уравнение:
$$-(2x+5)^{-3/2}=-8$$
$$(2x+5)^{-3/2}=8$$
$$(2x+5)^{3/2}=\frac18$$
$$2x+5=\left(\frac18\right)^{2/3}=\frac14$$
$$2x=-\frac{19}{4}$$
$$x=-\frac{19}{8}$$
е) $$f(x)=1{,}5\sqrt[3]{x^2}-x,\quad b=1$$
$$f'(x)=1{,}5\cdot \frac23x^{-1/3}-1=x^{-1/3}-1$$
Решаем уравнение:
$$x^{-1/3}-1=1$$
$$x^{-1/3}=2$$
$$x^{1/3}=\frac12$$
$$x=\left(\frac12\right)^3=\frac18$$
а) $$y=\log_3 x$$
$$y’=\frac{1}{x\ln 3}$$
б) $$y=\log_{0,5}x$$
$$y’=\frac{1}{x\ln 0{,}5}=-\frac{1}{x\ln 2}$$
в) $$y=\frac{1}{\log_2 x}$$
$$y=\frac{\ln 2}{\ln x}$$
$$y’=-\frac{\ln 2}{x\ln^2 x}$$
г) $$y=\frac{2}{\log_5 x}$$
$$y=\frac{2\ln 5}{\ln x}$$
$$y’=-\frac{2\ln 5}{x\ln^2 x}$$
д) $$y=x^3\lg x$$
$$y’=3x^2\lg x+x^3\cdot \frac{1}{x\ln 10}$$
$$y’=x^2\left(3\lg x+\frac{1}{\ln 10}\right)$$
е) $$y=\frac{x}{\lg x}$$
$$y’=\frac{\lg x-\frac{x}{x\ln 10}}{\lg^2 x}$$
$$y’=\frac{\lg x-\frac{1}{\ln 10}}{\lg^2 x}$$
Ответ
1) $$x=0;\ x=1;\ x=100;\ x=0,\ x=3;\ x=-\frac{19}{8};\ x=\frac18.$$
2) $$y’=\frac{1}{x\ln 3};\ y’=-\frac{1}{x\ln 2};\ y’=-\frac{\ln 2}{x\ln^2 x};\ y’=-\frac{2\ln 5}{x\ln^2 x};\ y’=3x^2\lg x+\frac{x^2}{\ln 10};\ y’=\frac{\lg x-\frac{1}{\ln 10}}{\lg^2 x}.$$
