Упр.14.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=8(x-4)^(1/4), y=2x+3;
б) f(x)=(x+2)^(-3), y=2-3x. Найдите производную функции:
а) y=x+ln(x); г) y=x^2-ln(x);
б) y=x^3ln(x); д) y=vxln(x);
в) y=ln(x)/cos(x); е) y=sin(x)/ln(x).

1. а) Ищем касательную к графику $$f(x)=8\sqrt[4]{x-4}$$, параллельную прямой $$y=2x+3$$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, значит

   $$f'(x)=2.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=8\cdot \frac14 (x-4)^{-3/4}=2(x-4)^{-3/4}.$$

   Тогда

   $$2(x-4)^{-3/4}=2,$$

   $$ (x-4)^{-3/4}=1,$$

   $$x-4=1,\quad x=5.$$

   Найдём значение функции в этой точке:

   $$f(5)=8\sqrt[4]{5-4}=8.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-8=2(x-5),$$

   $$y=2x-2.$$

2. б) Ищем касательную к графику $$f(x)=(x+2)^{-3}$$, параллельную прямой $$y=2-3x.$$

   Угловой коэффициент данной прямой равен $$-3$$, значит

   $$f'(x)=-3.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-3(x+2)^{-4}.$$

   Тогда

   $$-3(x+2)^{-4}=-3,$$

   $$ (x+2)^{-4}=1,$$

   $$x+2=1,\quad x=-1.$$

   Найдём значение функции:

   $$f(-1)=(-1+2)^{-3}=1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-1=-3(x+1),$$

   $$y=-3x-2.$$

3. Найдём производные.

   а) $$y=x+\ln x$$

   $$y’=1+\frac1x.$$

   б) $$y=x^3\ln x$$

   $$y’=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac1x=x^2(3\ln x+1).$$

   в) $$y=\frac{\ln x}{\cos x}$$

   $$y’=\frac{\frac1x\cos x+\ln x\sin x}{\cos^2 x} =\frac{\cos x+x\ln x\sin x}{x\cos^2 x}.$$

   г) $$y=x^2-\ln x$$

   $$y’=2x-\frac1x.$$

   д) $$y=\sqrt{x}\,\ln x$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x+\sqrt{x}\cdot \frac1x =\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}.$$

   е) $$y=\frac{\sin x}{\ln x}$$

   $$y’=\frac{\cos x\cdot \ln x-\sin x\cdot \frac1x}{\ln^2 x} =\frac{x\cos x\ln x-\sin x}{x\ln^2 x}.$$

Ответ

а) $$y=2x-2;$$
б) $$y=-3x-2;$$
а) $$y’=1+\frac1x;$$
б) $$y’=x^2(3\ln x+1);$$
в) $$y’=\frac{\cos x+x\ln x\sin x}{x\cos^2 x};$$
г) $$y’=2x-\frac1x;$$
д) $$y’=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}};$$
е) $$y’=\frac{x\cos x\ln x-\sin x}{x\ln^2 x}.$$