Упр.14.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение касательной к графику данной функции в точке $$x=a$$: а) $$y=x^4-3x^3+2,\ a=2$$; г) $$y=-x^4+5x^2-4,\ a=2$$; б) $$y=2x^{(2/3)}-3,\ a=8$$; д) $$y=3+x^{(-3/4)},\ a=1$$; в) $$y=1/v(2x+1),\ a=4$$; е) $$y=(5x+2)^{(1/5)},\ a=6$$.
Найдите производную функции: а) $$y=\ln(x)$$; г) $$y=\ln(x+3)$$; б) $$y=2\ln(x)$$; д) $$y=\ln(2x+1)$$; в) $$y=\ln(x-2)$$; е) $$y=\ln(1-x)$$.

Подробный ответ

Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x=a$$ имеет вид
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
а) $$y=x^4-3x^3+2,\quad a=2.$$
$$f'(x)=4x^3-9x^2,$$
$$f'(2)=4\cdot 8-9\cdot 4=-4,$$
$$f(2)=16-24+2=-6.$$
Тогда
$$y=-6-4(x-2)=2-4x.$$
б) $$y=2x^{2/3}-3,\quad a=8.$$
$$f'(x)=2\cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{4}{3x^{1/3}},$$
$$f'(8)=\frac{4}{3\cdot 2}=\frac{2}{3},$$
$$f(8)=2\cdot 4-3=5.$$
Тогда
$$y=5+\frac{2}{3}(x-8)=\frac{2x-1}{3}.$$
в) $$y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},\quad a=4.$$
$$f'(x)=-\frac{1}{(2x+1)^{3/2}},$$
$$f'(4)=-\frac{1}{9^{3/2}}=-\frac{1}{27},$$
$$f(4)=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$y=\frac{1}{3}-\frac{1}{27}(x-4)=\frac{13-x}{27}.$$
г) $$y=-x^4+5x^2-4,\quad a=2.$$
$$f'(x)=-4x^3+10x,$$
$$f'(2)=-4\cdot 8+10\cdot 2=-12,$$
$$f(2)=-16+20-4=0.$$
Тогда
$$y=-12(x-2)=24-12x.$$
д) $$y=3+x^{-3/4},\quad a=1.$$
$$f'(x)=-\frac{3}{4}x^{-7/4},$$
$$f'(1)=-\frac{3}{4},$$
$$f(1)=3+1=4.$$
Тогда
$$y=4-\frac{3}{4}(x-1)=\frac{19-3x}{4}.$$
е) $$y=\sqrt[5]{5x+2},\quad a=6.$$
$$f'(x)=\frac{1}{5}(5x+2)^{-4/5}\cdot 5=(5x+2)^{-4/5},$$
$$f'(6)=32^{-4/5}=\frac{1}{16},$$
$$f(6)=\sqrt[5]{32}=2.$$
Тогда
$$y=2+\frac{1}{16}(x-6)=\frac{x+26}{16}.$$
Найдём производные:
а) $$y=\ln x,\quad y’=\frac{1}{x}.$$
б) $$y=2\ln x,\quad y’=\frac{2}{x}.$$
в) $$y=\ln(x-2),\quad y’=\frac{1}{x-2}.$$
г) $$y=\ln(x+3),\quad y’=\frac{1}{x+3}.$$
д) $$y=\ln(2x+1),\quad y’=\frac{2}{2x+1}.$$
е) $$y=\ln(1-x),\quad y’=-\frac{1}{1-x}=\frac{1}{x-1}.$$