Упр.14.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) g(x)=x^6-3x^2+4, a=-1;
б) g(x)=x^(-4)-6vx, a=1;
в) g(x)=12(2-x)^(-0,5), a=-2;
г) g(x)=x^5-x^3-3x, a=1;
д) g(x)=((2x)^2)^(1/3)-2, a=4;
е) g(x)=-32(17-x)^(-0,75)+9x, a=16. Составьте уравнение касательной, проведённой к графику функции y=f(x) в точке x=a:
а) f(x)=e^x, a=-1; г) f(x)=e^(-x), a=0;
б) f(x)=xe^(3x+1), a=-1/3; д) f(x)=xe^(1-5x), a=0,2;
в) y=2^(x+1), a=-1; е) y=5^(2x-1), a=0,5.

1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $$x=a$$.

   а) $$g(x)=x^6-3x^2+4$$

   $$g'(x)=6x^5-6x$$

   $$g'(-1)=6\cdot(-1)^5-6\cdot(-1)=-6+6=0$$

   б) $$g(x)=x^{-4}-6\sqrt{x}$$

   $$g'(x)=-4x^{-5}-6\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-4x^{-5}-\frac{3}{\sqrt{x}}$$

   $$g'(1)=-4-3=-7$$

   в) $$g(x)=12(2-x)^{-0,5}$$

   $$g'(x)=12\cdot(-0,5)(2-x)^{-1,5}\cdot(-1)=6(2-x)^{-1,5}$$

   $$g'(-2)=6\cdot 4^{-1,5}=6\cdot \frac{1}{8}=0,75$$

   г) $$g(x)=x^5-x^3-3x$$

   $$g'(x)=5x^4-3x^2-3$$

   $$g'(1)=5-3-3=-1$$

   д) $$g(x)=\sqrt[3]{(2x)^2}-2=(2x)^{\frac{2}{3}}-2$$

   $$g'(x)=\frac{2}{3}(2x)^{-\frac{1}{3}}\cdot 2=\frac{4}{3}(2x)^{-\frac{1}{3}}$$

   $$g'(4)=\frac{4}{3}\cdot 8^{-\frac{1}{3}}=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$

   е) $$g(x)=-32(17-x)^{-0,75}+9x$$

   $$g'(x)=-32\cdot(-0,75)(17-x)^{-1,75}\cdot(-1)+9$$

   $$g'(x)=-24(17-x)^{-1,75}+9$$

   $$g'(16)=-24\cdot 1^{-1,75}+9=-24+9=-15$$

2. Уравнение касательной: $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$.

   а) $$f(x)=e^x,\ a=-1$$

   $$f'(x)=e^x,\quad f'(-1)=\frac{1}{e},\quad f(-1)=\frac{1}{e}$$

   $$y=\frac{1}{e}+\frac{1}{e}(x+1)=\frac{x+2}{e}$$

   б) $$f(x)=xe^{3x+1},\ a=-\frac{1}{3}$$

   $$f'(x)=e^{3x+1}+3xe^{3x+1}=e^{3x+1}(1+3x)$$

   $$f’\!\left(-\frac{1}{3}\right)=0,\quad f\!\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}$$

   $$y=-\frac{1}{3}$$

   в) $$f(x)=2^{x+1},\ a=-1$$

   $$f'(x)=2^{x+1}\ln 2$$

   $$f'(-1)=\ln 2,\quad f(-1)=1$$

   $$y=1+\ln 2\,(x+1)=x\ln 2+\ln 2+1$$

   г) $$f(x)=e^{-x},\ a=0$$

   $$f'(x)=-e^{-x}$$

   $$f'(0)=-1,\quad f(0)=1$$

   $$y=1-x$$

   д) $$f(x)=xe^{1-5x},\ a=0,2$$

   $$f'(x)=e^{1-5x}-5xe^{1-5x}=e^{1-5x}(1-5x)$$

   $$f'(0,2)=0,\quad f(0,2)=0,2$$

   $$y=0,2$$

   е) $$f(x)=5^{2x-1},\ a=0,5$$

   $$f'(x)=2\cdot 5^{2x-1}\ln 5$$

   $$f'(0,5)=2\ln 5,\quad f(0,5)=1$$

   $$y=1+2\ln 5\,(x-0,5)=2x\ln 5-\ln 5+1$$

Ответ

Угловой коэффициент: а) $$0$$; б) $$-7$$; в) $$0,75$$; г) $$-1$$; д) $$\frac{2}{3}$$; е) $$-15$$.
Уравнения касательных: а) $$y=\frac{x+2}{e}$$; б) $$y=-\frac{1}{3}$$; в) $$y=x\ln 2+\ln 2+1$$; г) $$y=1-x$$; д) $$y=0,2$$; е) $$y=2x\ln 5-\ln 5+1$$.