Упр.14.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x)=x^5-4x^2+3x, x_0=1;
б) f(x)=x^4-2vx, a=9;
в) f(x)=0,5(2-5x)^(-5), a=0,2;
г) f(x)=-x^4+2x^3-5, x_0=-1;
д) f(x)=(6x+7)^(1/3), a=1/6;
е) f(x)=x^(-0,5)+x^(-1,5)+3x, a=4. Найдите угол между осью Ох и касательной, проведённой к графику функции y=f(x) в точке x=a:
а) f(x)=(1/6)e^(6x+1), a=-1/6;
б) f(x)=v3/e^(x+v3), a=-v3;
в) f(x)=x+0,5^(x/ln(2)), a=0;
г) f(x)=-(1/5)e^(4x-1), a=0,25;
д) f(x)=e^(xv3-3), a=v3;
е) f(x)=x+0,1^(x/ln(10)), a=0.

Подробный ответ

Найдём значение производной в заданной точке.
а) $$f(x)=x^5-4x^2+3x,\quad x_0=1$$
$$f'(x)=5x^4-8x+3$$
$$f'(1)=5-8+3=0$$
$$f'(1)=0$$
б) $$f(x)=x^4-2\sqrt{x},\quad x_0=9$$
$$f'(x)=4x^3-\frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$f'(9)=4\cdot 9^3-\frac{1}{3}=2916-\frac{1}{3}=2915\frac{2}{3}$$
$$f'(9)=2915\frac{2}{3}$$
в) $$f(x)=0{,}5(2-5x)^{-5},\quad x_0=0{,}2$$
$$f'(x)=0{,}5\cdot(-5)(2-5x)^{-6}\cdot(-5)=12{,}5(2-5x)^{-6}$$
$$f'(0{,}2)=12{,}5\cdot(2-1)^{-6}=12{,}5$$
$$f'(0{,}2)=12{,}5$$
г) $$f(x)=-x^4+2x^3-5,\quad x_0=-1$$
$$f'(x)=-4x^3+6x^2$$
$$f'(-1)=-4(-1)^3+6(-1)^2=4+6=10$$
$$f'(-1)=10$$
д) $$f(x)=\sqrt[3]{6x+7},\quad x_0=\frac16$$
$$f'(x)=\frac13(6x+7)^{-\frac23}\cdot 6=2(6x+7)^{-\frac23}$$
$$f’\!\left(\frac16\right)=2\cdot 8^{-\frac23}=2\cdot \frac14=\frac12$$
$$f’\!\left(\frac16\right)=0{,}5$$
е) $$f(x)=x^{-0{,}5}+x^{-1{,}5}+3x,\quad x_0=4$$
$$f'(x)=-0{,}5x^{-1{,}5}-1{,}5x^{-2{,}5}+3$$
$$f'(4)=-0{,}5\cdot 4^{-\frac32}-1{,}5\cdot 4^{-\frac52}+3$$
$$f'(4)=-0{,}5\cdot \frac18-1{,}5\cdot \frac1{32}+3=\frac{185}{64}=2\frac{57}{64}$$
$$f'(4)=2\frac{57}{64}$$

Ход решения

Найдём угол между осью $$Ox$$ и касательной. Для этого используем формулу $$\tan \alpha=f'(a)$$.
а) $$f(x)=\frac16 e^{6x+1},\quad a=-\frac16$$
$$f'(x)=\frac16\cdot 6e^{6x+1}=e^{6x+1}$$
$$f’\!\left(-\frac16\right)=e^{-1+1}=e^0=1$$
$$\tan \alpha=1,\quad \alpha=45^\circ$$
б) $$f(x)=\frac{\sqrt3}{e^{x+\sqrt3}},\quad a=-\sqrt3$$
$$f(x)=\sqrt3\,e^{-x-\sqrt3}$$
$$f'(x)=-\sqrt3\,e^{-x-\sqrt3}$$
$$f'(-\sqrt3)=-\sqrt3\cdot e^0=-\sqrt3$$
$$\tan \alpha=-\sqrt3,\quad \alpha=120^\circ$$
в) $$f(x)=x+0{,}5^{\frac{x}{\ln 2}},\quad a=0$$
$$f'(x)=1+0{,}5^{\frac{x}{\ln 2}}\cdot \frac{\ln 0{,}5}{\ln 2}$$
$$f'(0)=1+\frac{\ln 0{,}5}{\ln 2}=1+\frac{-\ln 2}{\ln 2}=0$$
$$\tan \alpha=0,\quad \alpha=0^\circ$$
г) $$f(x)=-\frac15 e^{4x-1},\quad a=0{,}25$$
$$f'(x)=-\frac15\cdot 4e^{4x-1}=-\frac45 e^{4x-1}$$
$$f'(0{,}25)=-\frac45 e^0=-\frac45$$
$$\tan \alpha=-\frac45$$
д) $$f(x)=e^{x\sqrt3-3},\quad a=\sqrt3$$
$$f'(x)=\sqrt3\,e^{x\sqrt3-3}$$
$$f'(\sqrt3)=\sqrt3\,e^0=\sqrt3$$
$$\tan \alpha=\sqrt3,\quad \alpha=60^\circ$$
е) $$f(x)=x+0{,}1^{\frac{x}{\ln 10}},\quad a=0$$
$$f'(x)=1+0{,}1^{\frac{x}{\ln 10}}\cdot \frac{\ln 0{,}1}{\ln 10}$$
$$f'(0)=1+\frac{\ln 0{,}1}{\ln 10}=1+\frac{-\ln 10}{\ln 10}=0$$
$$\tan \alpha=0,\quad \alpha=0^\circ$$