Упр.14.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдём значение производной в заданной точке.

   а) $$f(x)=x^5-4x^2+3x,\quad x_0=1$$

   $$f'(x)=5x^4-8x+3$$

   $$f'(1)=5-8+3=0$$

   $$f'(1)=0$$

2. б) $$f(x)=x^4-2\sqrt{x},\quad x_0=9$$

   $$f'(x)=4x^3-\frac{1}{\sqrt{x}}$$

   $$f'(9)=4\cdot 9^3-\frac{1}{3}=2916-\frac{1}{3}=2915\frac{2}{3}$$

   $$f'(9)=2915\frac{2}{3}$$

3. в) $$f(x)=0{,}5(2-5x)^{-5},\quad x_0=0{,}2$$

   $$f'(x)=0{,}5\cdot(-5)(2-5x)^{-6}\cdot(-5)=12{,}5(2-5x)^{-6}$$

   $$f'(0{,}2)=12{,}5\cdot(2-1)^{-6}=12{,}5$$

   $$f'(0{,}2)=12{,}5$$

4. г) $$f(x)=-x^4+2x^3-5,\quad x_0=-1$$

   $$f'(x)=-4x^3+6x^2$$

   $$f'(-1)=-4(-1)^3+6(-1)^2=4+6=10$$

   $$f'(-1)=10$$

5. д) $$f(x)=\sqrt[3]{6x+7},\quad x_0=\frac16$$

   $$f'(x)=\frac13(6x+7)^{-\frac23}\cdot 6=2(6x+7)^{-\frac23}$$

   $$f’\!\left(\frac16\right)=2\cdot 8^{-\frac23}=2\cdot \frac14=\frac12$$

   $$f’\!\left(\frac16\right)=0{,}5$$

6. е) $$f(x)=x^{-0{,}5}+x^{-1{,}5}+3x,\quad x_0=4$$

   $$f'(x)=-0{,}5x^{-1{,}5}-1{,}5x^{-2{,}5}+3$$

   $$f'(4)=-0{,}5\cdot 4^{-\frac32}-1{,}5\cdot 4^{-\frac52}+3$$

   $$f'(4)=-0{,}5\cdot \frac18-1{,}5\cdot \frac1{32}+3=\frac{185}{64}=2\frac{57}{64}$$

   $$f'(4)=2\frac{57}{64}$$

1. Найдём угол между осью $$Ox$$ и касательной. Для этого используем формулу $$\tan \alpha=f'(a)$$.

   а) $$f(x)=\frac16 e^{6x+1},\quad a=-\frac16$$

   $$f'(x)=\frac16\cdot 6e^{6x+1}=e^{6x+1}$$

   $$f’\!\left(-\frac16\right)=e^{-1+1}=e^0=1$$

   $$\tan \alpha=1,\quad \alpha=45^\circ$$

2. б) $$f(x)=\frac{\sqrt3}{e^{x+\sqrt3}},\quad a=-\sqrt3$$

   $$f(x)=\sqrt3\,e^{-x-\sqrt3}$$

   $$f'(x)=-\sqrt3\,e^{-x-\sqrt3}$$

   $$f'(-\sqrt3)=-\sqrt3\cdot e^0=-\sqrt3$$

   $$\tan \alpha=-\sqrt3,\quad \alpha=120^\circ$$

3. в) $$f(x)=x+0{,}5^{\frac{x}{\ln 2}},\quad a=0$$

   $$f'(x)=1+0{,}5^{\frac{x}{\ln 2}}\cdot \frac{\ln 0{,}5}{\ln 2}$$

   $$f'(0)=1+\frac{\ln 0{,}5}{\ln 2}=1+\frac{-\ln 2}{\ln 2}=0$$

   $$\tan \alpha=0,\quad \alpha=0^\circ$$

4. г) $$f(x)=-\frac15 e^{4x-1},\quad a=0{,}25$$

   $$f'(x)=-\frac15\cdot 4e^{4x-1}=-\frac45 e^{4x-1}$$

   $$f'(0{,}25)=-\frac45 e^0=-\frac45$$

   $$\tan \alpha=-\frac45$$

5. д) $$f(x)=e^{x\sqrt3-3},\quad a=\sqrt3$$

   $$f'(x)=\sqrt3\,e^{x\sqrt3-3}$$

   $$f'(\sqrt3)=\sqrt3\,e^0=\sqrt3$$

   $$\tan \alpha=\sqrt3,\quad \alpha=60^\circ$$

6. е) $$f(x)=x+0{,}1^{\frac{x}{\ln 10}},\quad a=0$$

   $$f'(x)=1+0{,}1^{\frac{x}{\ln 10}}\cdot \frac{\ln 0{,}1}{\ln 10}$$

   $$f'(0)=1+\frac{\ln 0{,}1}{\ln 10}=1+\frac{-\ln 10}{\ln 10}=0$$

   $$\tan \alpha=0,\quad \alpha=0^\circ$$

Ответ

1) а) $$0$$; б) $$2915\frac{2}{3}$$; в) $$12{,}5$$; г) $$10$$; д) $$0{,}5$$; е) $$2\frac{57}{64}$$.

2) а) $$45^\circ$$; б) $$120^\circ$$; в) $$0^\circ$$; г) $$\alpha=\arctan\!\left(-\frac45\right)$$; д) $$60^\circ$$; е) $$0^\circ$$.