Упр.14.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=x^2x^(1/3); в) y=x^3x^(1/4); д) y=vx(x+x^(1/3));
б) y=x^3/vx; г) y=x^(1/3)/x^2; е) y=x^2(vx-x^(1/3)). Найдите тангенс угла между касательной к графику заданной функции в точке x_0 и осью абсцисс:
а) y=2e^(-x)+1, x_0=0; г) y=e^x-x^3, x_0=1;
б) y=e^(5x-6)+x, x_0=1,2; д) y=e^(5-x)+e, x_0=5;
в) y=x·3^x, x_0=0; е) y=(x-1)/6^(2x), x_0=1.
а) $$y=x^2\sqrt[3]{x}=x^2\cdot x^{1/3}=x^{7/3}$$
$$y’=\frac{7}{3}x^{4/3}=\frac{7}{3}x\sqrt[3]{x}$$
б) $$y=\frac{x^3}{\sqrt{x}}=x^3\cdot x^{-1/2}=x^{5/2}$$
$$y’=\frac{5}{2}x^{3/2}=\frac{5}{2}x\sqrt{x}$$
в) $$y=x^3\sqrt[4]{x}=x^3\cdot x^{1/4}=x^{13/4}$$
$$y’=\frac{13}{4}x^{9/4}=\frac{13}{4}x^2\sqrt[4]{x}$$
г) $$y=\frac{\sqrt[3]{x}}{x^2}=x^{1/3}\cdot x^{-2}=x^{-5/3}$$
$$y’=-\frac{5}{3}x^{-8/3}=-\frac{5}{3x^2\sqrt[3]{x^2}}$$
д) $$y=\sqrt{x}\left(x+\sqrt[3]{x}\right)=x^{1/2}\cdot x+x^{1/2}\cdot x^{1/3}=x^{3/2}+x^{5/6}$$
$$y’=\frac{3}{2}x^{1/2}+\frac{5}{6}x^{-1/6}=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$$
е) $$y=x^2\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}\right)=x^2\cdot x^{1/2}-x^2\cdot x^{1/3}=x^{5/2}-x^{7/3}$$
$$y’=\frac{5}{2}x^{3/2}-\frac{7}{3}x^{4/3}=\frac{5}{2}x\sqrt{x}-\frac{7}{3}x\sqrt[3]{x}$$
Ход решения
а) $$y=2e^{-x}+1,\quad x_0=0$$
$$y’=-2e^{-x}$$
$$y'(0)=-2e^0=-2$$
б) $$y=e^{5x-6}+x,\quad x_0=1{,}2$$
$$y’=5e^{5x-6}+1$$
$$y'(1{,}2)=5e^0+1=6$$
в) $$y=x\cdot 3^x,\quad x_0=0$$
$$y’=3^x+x\cdot 3^x\ln 3$$
$$y'(0)=1+0=1$$
г) $$y=e^x-x^3,\quad x_0=1$$
$$y’=e^x-3x^2$$
$$y'(1)=e-3$$
д) $$y=e^{5-x}+e,\quad x_0=5$$
$$y’=-e^{5-x}$$
$$y'(5)=-e^0=-1$$
е) $$y=\frac{x-1}{6^{2x}},\quad x_0=1$$
$$y’=\frac{1\cdot 6^{2x}-(x-1)\cdot 6^{2x}\cdot 2\ln 6}{6^{4x}}$$
$$y'(1)=\frac{6^2}{6^4}=\frac{1}{36}$$
Ответ
а) $$y’=\frac{7}{3}x\sqrt[3]{x}$$; б) $$y’=\frac{5}{2}x\sqrt{x}$$; в) $$y’=\frac{13}{4}x^2\sqrt[4]{x}$$; г) $$y’=-\frac{5}{3x^2\sqrt[3]{x^2}}$$; д) $$y’=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$$; е) $$y’=\frac{5}{2}x\sqrt{x}-\frac{7}{3}x\sqrt[3]{x}$$.
а) $$-2$$; б) $$6$$; в) $$1$$; г) $$e-3$$; д) $$-1$$; е) $$\frac{1}{36}$$.
