Упр.14.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=x^3+x^(-3)-3x^(1/3); г) y=1/(6x^6)+2(x^(-1))^(1/3)-3^(1/3);
б) y=x^4+x^(-4)+2x^(1/4); д) y=x^5-9/x^(1/3)+x^(-2);
в) y=0,5x^4-xvx-v2; е) y=x^8-6x x^(1/5)-x^0,7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику заданной функции в точке x_0:
а) y=0,4e^(0,5x)+3, x_0=-2; г) y=20e^(0,1x)-x, x_0=-10;
б) y=0,5^(2x+1), x_0=-0,5; д) y=(2/3)^(3x), x_0=-1/3;
в) y=e^(2x)/(x-2), x_0=0; е) y=(3x+4)/e^((x-1)/3), x_0=1.

1. Найдём производные функций:

   а)
   $$ y=x^3+x^{-3}-3x^{1/3} $$
   $$ y’=3x^2-3x^{-4}-3\cdot \frac13 x^{-2/3} =3x^2-3x^{-4}-x^{-2/3} $$

   б)
   $$ y=x^4+x^{-4}+2x^{1/4} $$
   $$ y’=4x^3-4x^{-5}+2\cdot \frac14 x^{-3/4} =4x^3-4x^{-5}+\frac12 x^{-3/4} $$

   в)
   $$ y=0{,}5x^4-x\sqrt{x}-\sqrt2 $$
   $$ y’=0{,}5\cdot 4x^3-\frac32 x^{1/2} =2x^3-\frac32 \sqrt{x} $$

   г)
   $$ y=\frac1{6x^6}+2\sqrt[3]{x^{-1}}-\sqrt[3]{3} $$
   $$ y’=-\frac1{x^7}-\frac23 \sqrt[3]{x^{-4}} $$

   д)
   $$ y=x^5-\frac9{\sqrt[3]{x}}+x^{-2} $$
   $$ y’=5x^4+\frac3{\sqrt[3]{x^4}}-2x^{-3} $$

   е)
   $$ y=x^8-6x\sqrt[5]{x}-x^{0{,}7} $$
   $$ y’=8x^7-\frac{36}{5}x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3} $$

2. Найдём угловой коэффициент касательной, то есть значение производной в точке $x_0$.

   а)
   $$ y=0{,}4e^{0{,}5x}+3,\quad x_0=-2 $$
   $$ y’=0{,}4\cdot 0{,}5e^{0{,}5x}=0{,}2e^{0{,}5x} $$
   $$ y'(-2)=0{,}2e^{-1}=\frac1{5e} $$

   б)
   $$ y=0{,}5^{\,2x+1},\quad x_0=-0{,}5 $$
   $$ y’=2\cdot 0{,}5^{\,2x+1}\ln 0{,}5 $$
   $$ y'(-0{,}5)=2\ln 0{,}5 $$

   в)
   $$ y=\frac{e^{2x}}{x-2},\quad x_0=0 $$
   $$ y’=\frac{2e^{2x}(x-2)-e^{2x}}{(x-2)^2} $$
   $$ y'(0)=\frac{2\cdot 1\cdot(-2)-1}{(-2)^2}=-\frac54 $$

   г)
   $$ y=20e^{0{,}1x}-x,\quad x_0=10 $$
   $$ y’=20\cdot 0{,}1e^{0{,}1x}-1=2e^{0{,}1x}-1 $$
   $$ y'(10)=2e-1 $$

   д)
   $$ y=\left(\frac23\right)^{3x},\quad x_0=-\frac13 $$
   $$ y’=3\left(\frac23\right)^{3x}\ln\frac23 $$
   $$ y’\!\left(-\frac13\right)=3\left(\frac23\right)^{-1}\ln\frac23 =\frac92\ln\frac23 $$

   е)
   $$ y=\frac{3x+4}{e^{(x-1)/3}},\quad x_0=1 $$
   $$ y’=\frac{3e^{(x-1)/3}-\frac13(3x+4)e^{(x-1)/3}}{e^{2(x-1)/3}} $$
   $$ y'(1)=3-\frac13\cdot 7=\frac23 $$

Ответ

1) а) $y’=3x^2-3x^{-4}-x^{-2/3}$; б) $y’=4x^3-4x^{-5}+\frac12x^{-3/4}$; в) $y’=2x^3-\frac32\sqrt{x}$; г) $y’=-\frac1{x^7}-\frac23\sqrt[3]{x^{-4}}$; д) $y’=5x^4+\frac3{\sqrt[3]{x^4}}-2x^{-3}$; е) $y’=8x^7-\frac{36}{5}x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}$.
2) а) $\frac1{5e}$; б) $2\ln 0{,}5$; в) $-\frac54$; г) $2e-1$; д) $\frac92\ln\frac23$; е) $\frac23$.