Упр.13.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=sin(?/6-2x), a=?/12;
б) y=(2/3)v(4-3x), a=1/3;
в) y=ctg(3x+?/4), a=?/2;
г) y=(x/3+1)^3+(3-0,5x)^2, a=-6. Найдите производную данной функции:
а) y=(4x+7)^5; г) y=(3-5x)^10;
б) y=(x/7+9)^7; д) y=(2-x/3)^15;
в) y=1/(1-4x)^4; е) y=4/(2x-5)^6.

1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $$x=a$$.

   а) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right), \quad a=\frac{\pi}{12}$$

   $$y'(x)=-2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)$$
   $$y’\left(\frac{\pi}{12}\right)=-2\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)=-2\cos 0=-2$$

   б) $$y=\frac{2}{3}\sqrt{4-3x}, \quad a=\frac{1}{3}$$

   $$y'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{-3}{2\sqrt{4-3x}}=-\frac{1}{\sqrt{4-3x}}$$
   $$y’\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{4-1}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   в) $$y=\ctg\left(3x+\frac{\pi}{4}\right), \quad a=\frac{\pi}{2}$$

   $$y'(x)=-\frac{3}{\sin^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)}$$
   $$y’\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{3}{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=-6$$

   г) $$y=\left(\frac{x}{3}+1\right)^3+\left(3-0{,}5x\right)^2, \quad a=-6$$

   $$y'(x)=3\left(\frac{x}{3}+1\right)^2\cdot \frac{1}{3}+2\left(3-0{,}5x\right)\cdot(-0{,}5)$$
   $$y'(x)=\left(\frac{x}{3}+1\right)^2-\left(3-0{,}5x\right)$$
   $$y'(-6)=(-2+1)^2-(3+3)=1-6=-5$$

2. Найдём производные.

   а) $$y=(4x+7)^5$$

   $$y'(x)=5(4x+7)^4\cdot 4=20(4x+7)^4$$

   б) $$y=\left(\frac{x}{7}+9\right)^7$$

   $$y'(x)=7\left(\frac{x}{7}+9\right)^6\cdot \frac{1}{7}=\left(\frac{x}{7}+9\right)^6$$

   в) $$y=\frac{1}{(1-4x)^4}=(1-4x)^{-4}$$

   $$y'(x)=-4(1-4x)^{-5}\cdot(-4)=16(1-4x)^{-5}=\frac{16}{(1-4x)^5}$$

   г) $$y=(3-5x)^{10}$$

   $$y'(x)=10(3-5x)^9\cdot(-5)=-50(3-5x)^9$$

   д) $$y=\left(2-\frac{x}{3}\right)^{15}$$

   $$y'(x)=15\left(2-\frac{x}{3}\right)^{14}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-5\left(2-\frac{x}{3}\right)^{14}$$

   е) $$y=\frac{4}{(2x-5)^6}=4(2x-5)^{-6}$$

   $$y'(x)=4\cdot(-6)(2x-5)^{-7}\cdot 2=-48(2x-5)^{-7}=-\frac{48}{(2x-5)^7}$$

Ответ

1) а) $$-2$$; б) $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$; в) $$-6$$; г) $$-5$$.
2) а) $$20(4x+7)^4$$; б) $$\left(\frac{x}{7}+9\right)^6$$; в) $$\frac{16}{(1-4x)^5}$$; г) $$-50(3-5x)^9$$; д) $$-5\left(2-\frac{x}{3}\right)^{14}$$; е) $$-\frac{48}{(2x-5)^7}$$.