Упр.13.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Используя формулы тригонометрии, преобразуйте данную функцию и найдите её производную:
а) $$y=2\sin(2x)\cos(2x)$$;
г) $$y=\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x)$$;
б) $$y=\sin^2(3x)$$;
д) $$y=2\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)$$;
в) $$y=\cos^2(x)-\sin^2(x)$$;
е) $$y=\sin(3x)\cos(x)-\cos(3x)\sin(x)$$. - Найдите производную данной функции:
а) $$y=\frac{1}{x^{1/3}}$$;
в) $$y=-\frac{4}{x^{1/4}}$$;
д) $$y=\frac{3}{(x^2)^{1/3}}$$;
б) $$y=-\frac{2}{\sqrt{x}}$$;
г) $$y=\frac{3}{x^{1/6}}$$;
е) $$y=\frac{1}{(x^3)^{1/5}}$$.
Используем формулы тригонометрии и находим производные.
а) $$y=2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x,$$
$$y’ = 4\cos 4x.$$
б) $$y=\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2},$$
$$y’=\frac{1}{2}\cdot 6\sin 6x=3\sin 6x.$$
в) $$y=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$
$$y’=-2\sin 2x.$$
г) $$y=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x=\cos(2x+x)=\cos 3x,$$
$$y’=-3\sin 3x.$$
д) $$y=2\cos^2\frac{x}{4}=1+\cos\frac{x}{2},$$
$$y’=-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}.$$
е) $$y=\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\sin(3x-x)=\sin 2x,$$
$$y’=2\cos 2x.$$
Найдём производные функций, записав их в виде степеней.
а) $$y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac13},$$
$$y’=-\frac13 x^{-\frac43}=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}.$$
б) $$y=-\frac{2}{\sqrt{x}}=-2x^{-\frac12},$$
$$y’=-2\left(-\frac12 x^{-\frac32}\right)=x^{-\frac32}=\frac{1}{\sqrt{x^3}}.$$
в) $$y=-\frac{4}{\sqrt[4]{x}}=-4x^{-\frac14},$$
$$y’=-4\left(-\frac14 x^{-\frac54}\right)=x^{-\frac54}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^5}}.$$
г) $$y=\frac{3}{\sqrt[6]{x}}=3x^{-\frac16},$$
$$y’=3\left(-\frac16 x^{-\frac76}\right)=-\frac{1}{2\sqrt[6]{x^7}}.$$
д) $$y=\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}=3x^{-\frac23},$$
$$y’=3\left(-\frac23 x^{-\frac53}\right)=-2x^{-\frac53}=-\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}}.$$
е) $$y=\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}=x^{-\frac35},$$
$$y’=-\frac35 x^{-\frac85}=-\frac{3}{5\sqrt[5]{x^8}}.$$
Ответ
1) а) $$y’=4\cos 4x$$; б) $$y’=3\sin 6x$$; в) $$y’=-2\sin 2x$$; г) $$y’=-3\sin 3x$$; д) $$y’=-\frac12\sin\frac{x}{2}$$; е) $$y’=2\cos 2x$$.
2) а) $$y’=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$$; б) $$y’=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$$; в) $$y’=\frac{1}{\sqrt[4]{x^5}}$$; г) $$y’=-\frac{1}{2\sqrt[6]{x^7}}$$; д) $$y’=-\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}}$$; е) $$y’=-\frac{3}{5\sqrt[5]{x^8}}$$.
