Упр.13.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y = arcsin 3x; б) y = arcctg(0,5x — 2/3);
в) y = arccos(3 — 5x); г) y = arctg(3,3x + 1). Найдите производную данной функции:
а) y=1/x^2,7; в) y=-3/x^(2/3); д) y=v5/x^v5;
б) y=-1/x^3,2; г) y=2/x^(5/6); е) y=(v3+1)/x^(v3-1).
Используем формулы производных:
$$ (\arcsin u)’=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}, \qquad (\arccos u)’=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}, $$
$$ (\arctg u)’=\frac{u’}{1+u^2}, \qquad (\arcctg u)’=-\frac{u’}{1+u^2}, $$
$$ (x^n)’=nx^{n-1}. $$
$$y=\arcsin 3x$$
$$ y’=\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}}=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}. $$
$$y=\arcctg\left(0{,}5x-\frac23\right)$$
$$ y’=-\frac{0{,}5}{1+\left(0{,}5x-\frac23\right)^2}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ 1+\left(0{,}5x-\frac23\right)^2 =1+\frac14x^2-\frac23x+\frac49 =\frac14x^2-\frac23x+\frac{13}{9}. $$
$$ y’=-\frac{0{,}5}{\frac14x^2-\frac23x+\frac{13}{9}} =-\frac{18}{9x^2-24x+52}. $$
$$y=\arccos(3-5x)$$
$$ y’=-\frac{-5}{\sqrt{1-(3-5x)^2}} =\frac{5}{\sqrt{1-(3-5x)^2}}. $$
$$ 1-(3-5x)^2=1-(9-30x+25x^2)=-25x^2+30x-8. $$
$$ y’=\frac{5}{\sqrt{-25x^2+30x-8}}. $$
$$y=\arctg(3{,}3x+1)$$
$$ y’=\frac{3{,}3}{1+(3{,}3x+1)^2}. $$
$$ 1+(3{,}3x+1)^2=1+10{,}89x^2+6{,}6x+1 =10{,}89x^2+6{,}6x+2. $$
$$ y’=\frac{3{,}3}{10{,}89x^2+6{,}6x+2}. $$
Найдём производные функций вида $$y=\frac{k}{x^a}=kx^{-a}$$ по формуле $$y’=k(-a)x^{-a-1}$$.
$$y=\frac{1}{x^{2{,}7}}=x^{-2{,}7}$$
$$ y’=-2{,}7x^{-3{,}7}=-\frac{2{,}7}{x^{3{,}7}}. $$
$$y=-\frac{1}{x^{3{,}2}}=-x^{-3{,}2}$$
$$ y’=3{,}2x^{-4{,}2}=\frac{3{,}2}{x^{4{,}2}}. $$
$$y=-\frac{3}{x^{2/3}}=-3x^{-2/3}$$
$$ y’=2x^{-5/3}=\frac{2}{x^{5/3}}. $$
$$y=\frac{2}{x^{5/6}}=2x^{-5/6}$$
$$ y’=-\frac{5}{3}x^{-11/6}=-\frac{5}{3x^{11/6}}. $$
$$y=\frac{\sqrt5}{x^{\sqrt5}}=\sqrt5\,x^{-\sqrt5}$$
$$ y’=\sqrt5\cdot(-\sqrt5)x^{-\sqrt5-1} =-\frac{5}{x^{\sqrt5+1}}. $$
$$y=\frac{\sqrt3+1}{x^{\sqrt3-1}}=(\sqrt3+1)x^{1-\sqrt3}$$
$$ y’=(\sqrt3+1)(1-\sqrt3)x^{-\sqrt3} =\frac{(\sqrt3+1)(1-\sqrt3)}{x^{\sqrt3}}. $$
Так как $$ (\sqrt3+1)(1-\sqrt3)=1-3=-2, $$ то
$$ y’=-\frac{2}{x^{\sqrt3}}. $$
Ответ
$$ \begin{aligned} &\text{а) } y’=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}; \\ &\text{б) } y’=-\frac{18}{9x^2-24x+52}; \\ &\text{в) } y’=\frac{5}{\sqrt{-25x^2+30x-8}}; \\ &\text{г) } y’=\frac{3{,}3}{10{,}89x^2+6{,}6x+2}; \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text{а) } y’=-\frac{2{,}7}{x^{3{,}7}}; \\ &\text{б) } y’=\frac{3{,}2}{x^{4{,}2}}; \\ &\text{в) } y’=\frac{2}{x^{5/3}}; \\ &\text{г) } y’=-\frac{5}{3x^{11/6}}; \\ &\text{д) } y’=-\frac{5}{x^{\sqrt5+1}}; \\ &\text{е) } y’=-\frac{2}{x^{\sqrt3}}. \end{aligned} $$
