Упр.13.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите производную функции:
а) $$y=\arcsin 3x$$;
б) $$y=\operatorname{arcctg}\left(0{,}5x-\frac{2}{3}\right)$$;
в) $$y=\arccos(3-5x)$$;
г) $$y=\arctg(3{,}3x+1)$$. - Задание учебника 2022 года. Найдите производную данной функции:
а) $$y=\frac{1}{x^{2{,}7}}$$;
б) $$y=-\frac{1}{x^{3{,}2}}$$;
в) $$y=-\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$$;
г) $$y=\frac{2}{x^{\frac{5}{6}}}$$;
д) $$y=\frac{\sqrt{5}}{x^{\sqrt{5}}}$$;
е) $$y=\frac{\sqrt{3}+1}{x^{\sqrt{3}-1}}$$.
Используем формулы производных:
$$(\arcsin u)’=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}, \qquad (\arccos u)’=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}},$$
$$(\arctg u)’=\frac{u’}{1+u^2}, \qquad (\arcctg u)’=-\frac{u’}{1+u^2},$$
$$(x^n)’=nx^{n-1}.$$
$$y=\arcsin 3x$$
$$y’=\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}}=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}.$$
$$y=\arcctg\left(0{,}5x-\frac23\right)$$
$$y’=-\frac{0{,}5}{1+\left(0{,}5x-\frac23\right)^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$1+\left(0{,}5x-\frac23\right)^2 =1+\frac14x^2-\frac23x+\frac49 =\frac14x^2-\frac23x+\frac{13}{9}.$$
$$y’=-\frac{0{,}5}{\frac14x^2-\frac23x+\frac{13}{9}} =-\frac{18}{9x^2-24x+52}.$$
$$y=\arccos(3-5x)$$
$$y’=-\frac{-5}{\sqrt{1-(3-5x)^2}} =\frac{5}{\sqrt{1-(3-5x)^2}}.$$
$$1-(3-5x)^2=1-(9-30x+25x^2)=-25x^2+30x-8.$$
$$y’=\frac{5}{\sqrt{-25x^2+30x-8}}.$$
$$y=\arctg(3{,}3x+1)$$
$$y’=\frac{3{,}3}{1+(3{,}3x+1)^2}.$$
$$1+(3{,}3x+1)^2=1+10{,}89x^2+6{,}6x+1 =10{,}89x^2+6{,}6x+2.$$
$$y’=\frac{3{,}3}{10{,}89x^2+6{,}6x+2}.$$
Найдём производные функций вида $$y=\frac{k}{x^a}=kx^{-a}$$ по формуле $$y’=k(-a)x^{-a-1}$$.
$$y=\frac{1}{x^{2{,}7}}=x^{-2{,}7}$$
$$y’=-2{,}7x^{-3{,}7}=-\frac{2{,}7}{x^{3{,}7}}.$$
$$y=-\frac{1}{x^{3{,}2}}=-x^{-3{,}2}$$
$$y’=3{,}2x^{-4{,}2}=\frac{3{,}2}{x^{4{,}2}}.$$
$$y=-\frac{3}{x^{2/3}}=-3x^{-2/3}$$
$$y’=2x^{-5/3}=\frac{2}{x^{5/3}}.$$
$$y=\frac{2}{x^{5/6}}=2x^{-5/6}$$
$$y’=-\frac{5}{3}x^{-11/6}=-\frac{5}{3x^{11/6}}.$$
$$y=\frac{\sqrt5}{x^{\sqrt5}}=\sqrt5\,x^{-\sqrt5}$$
$$y’=\sqrt5\cdot(-\sqrt5)x^{-\sqrt5-1} =-\frac{5}{x^{\sqrt5+1}}.$$
$$y=\frac{\sqrt3+1}{x^{\sqrt3-1}}=(\sqrt3+1)x^{1-\sqrt3}$$
$$y’=(\sqrt3+1)(1-\sqrt3)x^{-\sqrt3} =\frac{(\sqrt3+1)(1-\sqrt3)}{x^{\sqrt3}}.$$
Так как $$(\sqrt3+1)(1-\sqrt3)=1-3=-2,$$ то
$$y’=-\frac{2}{x^{\sqrt3}}.$$
Ответ
$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}; \\ &\text{б) } y’=-\frac{18}{9x^2-24x+52}; \\ &\text{в) } y’=\frac{5}{\sqrt{-25x^2+30x-8}}; \\ &\text{г) } y’=\frac{3{,}3}{10{,}89x^2+6{,}6x+2}; \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=-\frac{2{,}7}{x^{3{,}7}}; \\ &\text{б) } y’=\frac{3{,}2}{x^{4{,}2}}; \\ &\text{в) } y’=\frac{2}{x^{5/3}}; \\ &\text{г) } y’=-\frac{5}{3x^{11/6}}; \\ &\text{д) } y’=-\frac{5}{x^{\sqrt5+1}}; \\ &\text{е) } y’=-\frac{2}{x^{\sqrt3}}. \end{aligned}$$
