Упр.13.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=tg(6x); в) y=ctg(2x); д) y=tg((-x+2?)/3);
б) y=tg(-x/4); г) t=ctg(?/6-3x); е) y=ctg((2x+?)/12). Найдите производную данной функции:
а) y=x^v2; в) y=x^(-v5); д) y=(3x)^v3;
б) y=x^v3; г) y=x^(-v6); е) y=(2x)^v2.

Используем формулы производных:

$$ (\tg u)’=\frac{u’}{\cos^2 u}, \qquad (\ctg u)’=-\frac{u’}{\sin^2 u}, $$
$$ (x^n)’=nx^{n-1}, \qquad (ku)’=k u’. $$

1. $$y=\tg 6x$$
   $$y’=\frac{6}{\cos^2 6x}.$$

2. $$y=\tg\left(-\frac{x}{4}\right)$$
   $$y’=\frac{-\frac14}{\cos^2\left(-\frac{x}{4}\right)}=-\frac{1}{4\cos^2\frac{x}{4}}.$$

3. $$y=\ctg 2x$$
   $$y’=-\frac{2}{\sin^2 2x}.$$

4. $$y=\ctg\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)$$
   $$y’=-\frac{-3}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)}=\frac{3}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)}.$$

5. $$y=\tg\left(\frac{-x+2\pi}{3}\right)$$
   $$y’=\frac{-\frac13}{\cos^2\left(\frac{-x+2\pi}{3}\right)}=-\frac{1}{3\cos^2\frac{x-2\pi}{3}}.$$

6. $$y=\ctg\left(\frac{2x+\pi}{12}\right)$$
   $$y’=-\frac{\frac{2}{12}}{\sin^2\left(\frac{2x+\pi}{12}\right)}=-\frac{1}{6\sin^2\frac{2x+\pi}{12}}.$$

Теперь найдём производные степенных функций:

1. $$y=x^{\sqrt2}$$
   $$y’=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}.$$

2. $$y=x^{\sqrt3}$$
   $$y’=\sqrt3\,x^{\sqrt3-1}.$$

3. $$y=x^{-\sqrt5}$$
   $$y’=-\sqrt5\,x^{-\sqrt5-1}.$$

4. $$y=x^{-\sqrt6}$$
   $$y’=-\sqrt6\,x^{-\sqrt6-1}.$$

5. $$y=(3x)^{\sqrt3}$$
   $$y’=\sqrt3\,(3x)^{\sqrt3-1}\cdot 3=3\sqrt3\,(3x)^{\sqrt3-1}.$$

6. $$y=(2x)^{\sqrt2}$$
   $$y’=\sqrt2\,(2x)^{\sqrt2-1}\cdot 2=2\sqrt2\,(2x)^{\sqrt2-1}.$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } y’=\frac{6}{\cos^2 6x}; \quad \text{б) } y’=-\frac{1}{4\cos^2\frac{x}{4}}; \quad \text{в) } y’=-\frac{2}{\sin^2 2x}; \\ &\text{г) } y’=\frac{3}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)}; \quad \text{д) } y’=-\frac{1}{3\cos^2\frac{x-2\pi}{3}}; \quad \text{е) } y’=-\frac{1}{6\sin^2\frac{2x+\pi}{12}}; \\ &\text{а) } y’=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}; \quad \text{б) } y’=\sqrt3\,x^{\sqrt3-1}; \quad \text{в) } y’=-\sqrt5\,x^{-\sqrt5-1}; \\ &\text{г) } y’=-\sqrt6\,x^{-\sqrt6-1}; \quad \text{д) } y’=3\sqrt3\,(3x)^{\sqrt3-1}; \quad \text{е) } y’=2\sqrt2\,(2x)^{\sqrt2-1}. \end{aligned} $$