Упр.13.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Найдите производную функции:
а) $$y=\cos(3x)$$; г) $$y=\sin(4x)$$; б) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$; д) $$y=\cos\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)$$; в) $$y=\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)$$; е) $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$.
Задание учебника 2022 года. Найдите производную данной функции:
а) $$y=x^{\frac{1}{3}}$$; в) $$y=x^{-2{,}5}$$; д) $$y=x^{\frac{1}{4}}$$; б) $$y=x^{1{,}4}$$; г) $$y=x^{-\frac{2}{3}}$$; е) $$y=\left(x^2\right)^{\frac{1}{3}}$$.
Используем правило производной сложной функции и формулу $$\left(x^n\right)’=nx^{n-1}.$$
$$y=\cos 3x$$
$$y’=-\sin 3x \cdot 3=-3\sin 3x.$$
$$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$
$$y’=\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\cdot(-2)=-2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right).$$
$$y=\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)$$
$$y’=-\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)\cdot\left(-\frac13\right)=\frac13\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right).$$
$$y=\sin 4x$$
$$y’=\cos 4x \cdot 4=4\cos 4x.$$
$$y=\cos\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)$$
$$y’=-\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)\cdot(-1{,}5)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right).$$
$$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$
$$y’=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cdot\frac12=\frac12\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right).$$
Теперь найдём производные степенных функций:
$$y=x^{\frac13}$$
$$y’=\frac13x^{-\frac23}.$$
$$y=x^{1{,}4}$$
$$y’=1{,}4x^{0{,}4}.$$
$$y=x^{-2{,}5}$$
$$y’=-2{,}5x^{-3{,}5}.$$
$$y=x^{-\frac23}$$
$$y’=-\frac23x^{-\frac53}.$$
$$y=\sqrt[4]{x}=x^{\frac14}$$
$$y’=\frac14x^{-\frac34}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}.$$
$$y=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23}$$
$$y’=\frac23x^{-\frac13}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.$$
Ответ
$$-3\sin 3x;\ -2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right);\ \frac13\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right);$$
$$4\cos 4x;\ 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right);\ \frac12\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right);$$
$$\frac13x^{-\frac23};\ 1{,}4x^{0{,}4};\ -2{,}5x^{-3{,}5};\ -\frac23x^{-\frac53};\ \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}};\ \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.$$
