Упр.13.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=cos(3x); г) y=sin(4x);
б) y=sin(?/3-2x); д) y=cos(?/4-1,5x);
в) y=cos(2?/3-x/3); е) y=sin(x/2+?/6). Найдите производную данной функции:
а) y=x^(1/3); в) y=x^(-2,5); д) y=x^(1/4);
б) y=x^1,4; г) y=x^(-2/3); е) y=(x^2)^(1/3).

Используем правило производной сложной функции и формулу $$\left(x^n\right)’=nx^{n-1}.$$

1. $$y=\cos 3x$$

   $$y’=-\sin 3x \cdot 3=-3\sin 3x.$$

2. $$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$

   $$y’=\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\cdot(-2)=-2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right).$$

3. $$y=\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)$$

   $$y’=-\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)\cdot\left(-\frac13\right)=\frac13\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right).$$

4. $$y=\sin 4x$$

   $$y’=\cos 4x \cdot 4=4\cos 4x.$$

5. $$y=\cos\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)$$

   $$y’=-\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)\cdot(-1{,}5)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right).$$

6. $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$

   $$y’=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cdot\frac12=\frac12\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right).$$

Теперь найдём производные степенных функций:

1. $$y=x^{\frac13}$$

   $$y’=\frac13x^{-\frac23}.$$

2. $$y=x^{1{,}4}$$

   $$y’=1{,}4x^{0{,}4}.$$

3. $$y=x^{-2{,}5}$$

   $$y’=-2{,}5x^{-3{,}5}.$$

4. $$y=x^{-\frac23}$$

   $$y’=-\frac23x^{-\frac53}.$$

5. $$y=\sqrt[4]{x}=x^{\frac14}$$

   $$y’=\frac14x^{-\frac34}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}.$$

6. $$y=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23}$$

   $$y’=\frac23x^{-\frac13}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.$$

Ответ

$$-3\sin 3x;\ -2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right);\ \frac13\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right);$$
$$4\cos 4x;\ 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right);\ \frac12\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right);$$
$$\frac13x^{-\frac23};\ 1{,}4x^{0{,}4};\ -2{,}5x^{-3{,}5};\ -\frac23x^{-\frac53};\ \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}};\ \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.$$