Упр.13.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
Найдите абсциссы всех точек, в которых касательная, проведённая к графику функции $$y=f(x)$$, параллельна касательной, проведённой к тому же графику в точке с абсциссой $$a$$, если:
а) $$f(x)=\cos 7x+7\cos x,\quad a=?/6$$;
б) $$f(x)=\sin 8x+4\sin 2x,\quad a=?/10$$. - Задание учебника 2022 года.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=g(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$, если:
а) $$g(x)=x^6-3x^2+4,\quad a=-1$$;
б) $$g(x)=x^{-4}-6vx,\quad a=1$$;
в) $$g(x)=12(2-x)^{-0{,}5},\quad a=-2$$;
г) $$g(x)=x^5-x^3-3x,\quad a=1$$;
д) $$g(x)=((2x)^2)^{1/3}-2,\quad a=4$$;
е) $$g(x)=-32(17-x)^{-0{,}75}+9x,\quad a=16$$.
а) $$f(x)=\cos 7x+7\cos x,\quad a=\frac{\pi}{6}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-7\sin 7x-7\sin x.$$
Угловой коэффициент касательной в точке $$x=\frac{\pi}{6}$$:
$$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right) =-7\sin\frac{7\pi}{6}-7\sin\frac{\pi}{6} =-7\left(-\frac12\right)-7\cdot\frac12=0.$$
Ищем все точки, где касательная параллельна данной, то есть где
$$f'(x)=0.$$
$$-7\sin 7x-7\sin x=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin 7x+\sin x=0$$
$$2\sin 4x\cos 3x=0.$$
Отсюда
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$
$$x=\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$
б) $$f(x)=\sin 8x+4\sin 2x,\quad a=\frac{\pi}{10}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=8\cos 8x+8\cos 2x.$$
Угловой коэффициент касательной в точке $$x=\frac{\pi}{10}$$:
$$f’\!\left(\frac{\pi}{10}\right) =8\cos\frac{4\pi}{5}+8\cos\frac{\pi}{5} =8\cos\frac{\pi}{5}-8\cos\frac{\pi}{5}=0.$$
Ищем все точки, где
$$f'(x)=0.$$
$$8\cos 8x+8\cos 2x=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos 8x+\cos 2x=0$$
$$2\cos 5x\cos 3x=0.$$
Следовательно,
$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$
Найдём угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=g(x)$$ в точке $$x=a$$.
а) $$g(x)=x^6-3x^2+4,\quad a=-1.$$
$$g'(x)=6x^5-6x,$$
$$g'(-1)=6(-1)^5-6(-1)=-6+6=0.$$
б) $$g(x)=x^{-4}-6\sqrt{x},\quad a=1.$$
$$g'(x)=-4x^{-5}-\frac{6}{2\sqrt{x}}=-4x^{-5}-\frac{3}{\sqrt{x}},$$
$$g'(1)=-4-3=-7.$$
в) $$g(x)=12(2-x)^{-0.5},\quad a=-2.$$
$$g'(x)=12\cdot(-0.5)\cdot(-1)\,(2-x)^{-1.5}=6(2-x)^{-1.5},$$
$$g'(-2)=6\cdot 4^{-1.5}=6\cdot\frac{1}{8}=\frac34.$$
г) $$g(x)=x^5-x^3-3x,\quad a=1.$$
$$g'(x)=5x^4-3x^2-3,$$
$$g'(1)=5-3-3=-1.$$
д) $$g(x)=\sqrt[3]{(2x)^2}-2,\quad a=4.$$
$$g(x)=(2x)^{2/3}-2,$$
$$g'(x)=\frac{2}{3}(2x)^{-1/3}\cdot 2=\frac{4}{3}(2x)^{-1/3},$$
$$g'(4)=\frac{4}{3}\cdot 8^{-1/3} =\frac{4}{3}\cdot\frac12 =\frac23.$$
е) $$g(x)=-32(17-x)^{-0.75}+9x,\quad a=16.$$
$$g'(x)=-32\cdot(-1)\cdot(-0.75)(17-x)^{-1.75}+9,$$
$$g'(x)=-24(17-x)^{-1.75}+9,$$
$$g'(16)=-24\cdot 1^{-1.75}+9=-24+9=-15.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$
а) $$0;$$ б) $$-7;$$ в) $$\frac34;$$ г) $$-1;$$ д) $$\frac23;$$ е) $$-15.$$
