Упр.13.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\log_{0,5}\left(\frac{2x^2-4x-6}{4x-11}\right)?-1$$;
   б) $$\left(\log_2(x-1)^2\right)^2+5\log_{0,5}(x-1)>-1$$.
2. Постройте график функции:
   а) $$y=3\sin(2x)$$;
   б) $$y=\operatorname{tg}(x-?/3)+1$$;
   в) $$y=\left|\cos(x)-\frac{1}{2}\right|$$;
   г) $$y=-2\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$;
   д) $$y=\operatorname{ctg}(x+2?/3)-2$$;
   е) $$y=\left|\sin(x)+\frac{1}{2}\right|$$.

1. а) $$\log_{0{,}5}\frac{2x^2-4x-6}{4x-11}\le -1.$$

   Так как основание $$0{,}5<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

   $$\frac{2x^2-4x-6}{4x-11}\ge 2.$$

   Перенесём всё в одну дробь:

   $$\frac{2x^2-4x-6-8x+22}{4x-11}\ge 0,$$

   $$\frac{2x^2-12x+16}{4x-11}\ge 0,$$

   $$\frac{x^2-6x+8}{4x-11}\ge 0,$$

   $$\frac{(x-2)(x-4)}{4x-11}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=2,\; x=\frac{11}{4},\; x=4.$$

   По знакам на промежутках получаем:

   $$x\in[2;\tfrac{11}{4})\cup[4;+\infty).$$

2. б) $$\bigl(\log_2(x-1)\bigr)^2+5\log_{0{,}5}(x-1)>-1.$$

   Область определения: $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$

   Переходим к основанию $$2$$:

   $$\log_{0{,}5}(x-1)=-\log_2(x-1).$$

   Обозначим $$y=\log_2(x-1).$$ Тогда

   $$y^2-5y>-1,$$

   $$y^2-5y+1>0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=25-4=21,$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$y<\frac{5-\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad y>\frac{5+\sqrt{21}}{2}.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_2(x-1)<\frac{5-\sqrt{21}}{2}\;\Rightarrow\; 1<x<1+2^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}},$$

   $$\log_2(x-1)>\frac{5+\sqrt{21}}{2}\;\Rightarrow\; x>1+2^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}.$$

3. а) $$y=3\sin 2x.$$

   Это график функции $$y=\sin x,$$ сжатый по оси $$x$$ в 2 раза и растянутый по оси $$y$$ в 3 раза.

   Амплитуда: $$3,$$ период: $$T=\pi.$$

   Основные точки на одном периоде:

   $$\left(0,0\right),\ \left(\frac{\pi}{4},3\right),\ \left(\frac{\pi}{2},0\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},-3\right),\ \left(\pi,0\right).$$

4. б) $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1.$$

   График $$y=\tg x$$ сдвинут вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и вверх на $$1.$$

   Вертикальные асимптоты:

   $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Центры ветвей:

   $$\left(\frac{\pi}{3}+\pi k,\ 1\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

5. в) $$y=\left|\cos x-\frac12\right|.$$

   Берём график $$y=\cos x-\frac12$$ и часть, лежащую ниже оси $$Ox,$$ отражаем вверх.

   Нули функции:

   $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Максимум равен $$\frac32,$$ минимум равен $$0.$$

6. г) $$y=-2\cos\frac{x}{2}.$$

   Это график $$y=\cos x,$$ растянутый по оси $$x$$ в 2 раза, отражённый относительно оси $$Ox$$ и растянутый по оси $$y$$ в 2 раза.

   Период: $$T=4\pi.$$

   Основные точки:

   $$\left(0,-2\right),\ \left(\pi,0\right),\ \left(2\pi,2\right),\ \left(3\pi,0\right),\ \left(4\pi,-2\right).$$

7. д) $$y=\ctg\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)-2.$$

   График $$y=\ctg x$$ сдвинут влево на $$\frac{2\pi}{3}$$ и вниз на $$2.$$

   Вертикальные асимптоты:

   $$x=-\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Центры ветвей:

   $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi k,\ -2\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

8. е) $$y=\left|\sin x+\frac12\right|.$$

   Берём график $$y=\sin x+\frac12$$ и часть, лежащую ниже оси $$Ox,$$ отражаем вверх.

   Нули функции:

   $$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \ \text{или}\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Максимум равен $$\frac32,$$ минимум равен $$0.$$

Ответ

а) $$[2;\tfrac{11}{4})\cup[4;+\infty)$$; б) $$\left(1;\,1+2^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}\right)\cup\left(1+2^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}};\,+\infty\right)$$; в) график с амплитудой $$3$$ и периодом $$\pi$$; б) график $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$$; в) график $$y=\left|\cos x-\frac12\right|$$; г) график $$y=-2\cos\frac{x}{2}$$; д) график $$y=\ctg\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)-2$$; е) график $$y=\left|\sin x+\frac12\right|$$.