Упр.13.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) log_0,5((2x^2-4x-6)/(4x-11))?-1;
б) (log_2(x-1)^2)^2+5log_0,5(x-1)>-1. Постройте график функции:
а) y=3sin(2x); г) y=-2cos(x/2);
б) y=tg(x-?/3)+1; д) y=ctg(x+2?/3)-2;
в) y=|cos(x)-1/2|; е) y=|sin(x)+1/2|.
а) $$\log_{0{,}5}\frac{2x^2-4x-6}{4x-11}\le -1.$$
Так как основание $$0{,}5<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:
$$\frac{2x^2-4x-6}{4x-11}\ge 2.$$
Перенесём всё в одну дробь:
$$\frac{2x^2-4x-6-8x+22}{4x-11}\ge 0,$$
$$\frac{2x^2-12x+16}{4x-11}\ge 0,$$
$$\frac{x^2-6x+8}{4x-11}\ge 0,$$
$$\frac{(x-2)(x-4)}{4x-11}\ge 0.$$
Критические точки: $$x=2,\; x=\frac{11}{4},\; x=4.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in[2;\tfrac{11}{4})\cup[4;+\infty).$$
б) $$\bigl(\log_2(x-1)\bigr)^2+5\log_{0{,}5}(x-1)>-1.$$
Область определения: $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$
Переходим к основанию $$2$$:
$$\log_{0{,}5}(x-1)=-\log_2(x-1).$$
Обозначим $$y=\log_2(x-1).$$ Тогда
$$y^2-5y>-1,$$
$$y^2-5y+1>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=25-4=21,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$y<\frac{5-\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad y>\frac{5+\sqrt{21}}{2}.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_2(x-1)<\frac{5-\sqrt{21}}{2}\;\Rightarrow\; 1<x<1+2^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}},$$
$$\log_2(x-1)>\frac{5+\sqrt{21}}{2}\;\Rightarrow\; x>1+2^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}.$$
а) $$y=3\sin 2x.$$
Это график функции $$y=\sin x,$$ сжатый по оси $$x$$ в 2 раза и растянутый по оси $$y$$ в 3 раза.
Амплитуда: $$3,$$ период: $$T=\pi.$$
Основные точки на одном периоде:
$$\left(0,0\right),\ \left(\frac{\pi}{4},3\right),\ \left(\frac{\pi}{2},0\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},-3\right),\ \left(\pi,0\right).$$
б) $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1.$$
График $$y=\tg x$$ сдвинут вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и вверх на $$1.$$
Вертикальные асимптоты:
$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Центры ветвей:
$$\left(\frac{\pi}{3}+\pi k,\ 1\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
в) $$y=\left|\cos x-\frac12\right|.$$
Берём график $$y=\cos x-\frac12$$ и часть, лежащую ниже оси $$Ox,$$ отражаем вверх.
Нули функции:
$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Максимум равен $$\frac32,$$ минимум равен $$0.$$
г) $$y=-2\cos\frac{x}{2}.$$
Это график $$y=\cos x,$$ растянутый по оси $$x$$ в 2 раза, отражённый относительно оси $$Ox$$ и растянутый по оси $$y$$ в 2 раза.
Период: $$T=4\pi.$$
Основные точки:
$$\left(0,-2\right),\ \left(\pi,0\right),\ \left(2\pi,2\right),\ \left(3\pi,0\right),\ \left(4\pi,-2\right).$$
д) $$y=\ctg\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)-2.$$
График $$y=\ctg x$$ сдвинут влево на $$\frac{2\pi}{3}$$ и вниз на $$2.$$
Вертикальные асимптоты:
$$x=-\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Центры ветвей:
$$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi k,\ -2\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
е) $$y=\left|\sin x+\frac12\right|.$$
Берём график $$y=\sin x+\frac12$$ и часть, лежащую ниже оси $$Ox,$$ отражаем вверх.
Нули функции:
$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \ \text{или}\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Максимум равен $$\frac32,$$ минимум равен $$0.$$
Ответ
а) $$[2;\tfrac{11}{4})\cup[4;+\infty)$$; б) $$\left(1;\,1+2^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}\right)\cup\left(1+2^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}};\,+\infty\right)$$; в) график с амплитудой $$3$$ и периодом $$\pi$$; б) график $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$$; в) график $$y=\left|\cos x-\frac12\right|$$; г) график $$y=-2\cos\frac{x}{2}$$; д) график $$y=\ctg\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)-2$$; е) график $$y=\left|\sin x+\frac12\right|$$.
