Упр.13.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) a^(-2,4) · a^(3,7) · (a^(0,6))^(5); б) b^(-1,9) · b^(-3,2) · (b^(4,2))^(3);
в) c^(7,3) · (c^(1,2))^(-5) · (c^(-2,6))^(2); г) a^(4,1) · a^(-2,6) · (a^(1,5))^(4);
д) b^(3,1) · b^(-1,3) · (b^(-2,4))^(3); е) c^(9,3) · (c^(-1,4))^(3) · (c^(1,6))^(-5). Решите неравенство:
а) (2^x-8)/(x^2-10x+25)?0; в) (25-0,2^x)/(x^2+6x+9)?0;
б) 6/(7^x+48)>6/7^(x+2); г) (8^x+44)/8^x<23.
Упростим выражения:
а) $$a^{-2,4}\cdot a^{3,7}\cdot (a^{0,6})^5=a^{-2,4+3,7+0,6\cdot 5}=a^{4,3}.$$
б) $$b^{-1,9}\cdot b^{-3,2}\cdot (b^{4,2})^3=b^{-1,9-3,2+4,2\cdot 3}=b^{7,5}.$$
в) $$c^{7,3}\cdot (c^{1,2})^{-5}\cdot (c^{-2,6})^2=c^{7,3-1,2\cdot 5+(-2,6)\cdot 2}=c^{-3,9}.$$
г) $$a^{4,1}\cdot a^{-2,6}\cdot (a^{1,5})^4=a^{4,1-2,6+1,5\cdot 4}=a^{7,5}.$$
д) $$b^{3,1}\cdot b^{-1,3}\cdot (b^{-2,4})^3=b^{3,1-1,3-2,4\cdot 3}=b^{-5,4}.$$
е) $$c^{9,3}\cdot (c^{-1,4})^3\cdot (c^{1,6})^{-5}=c^{9,3-1,4\cdot 3+1,6\cdot (-5)}=c^{-2,9}.$$
Решим неравенства:
а) $$\frac{2^x-8}{x^2-10x+25}\ge 0.$$
Так как $$x^2-10x+25=(x-5)^2,$$ то при $$x\ne 5$$ знаменатель положителен. Тогда
$$2^x-8\ge 0,\quad x\ne 5.$$
$$2^x\ge 8=2^3 \Rightarrow x\ge 3.$$
С учётом ограничения $$x\ne 5$$ получаем:
$$x\in [3;5)\cup(5;+\infty).$$
б) $$\frac{6}{7^x+48}>\frac{6}{7^{x+2}}.$$
Так как все выражения положительны, сравним знаменатели:
$$7^x+48<7^{x+2}=49\cdot 7^x.$$
$$48<48\cdot 7^x,$$
$$1<7^x,$$
$$x>0.$$
Значит,
$$x\in(0;+\infty).$$
в) $$\frac{25-0,2^x}{x^2+6x+9}\le 0.$$
Так как $$x^2+6x+9=(x+3)^2,$$ то при $$x\ne -3$$ знаменатель положителен. Тогда
$$25-0,2^x\le 0,\quad x\ne -3.$$
$$0,2^x\ge 25.$$
Поскольку $$0,2=\frac15,$$ имеем
$$\left(\frac15\right)^x\ge 5^2 \Rightarrow 5^{-x}\ge 5^2 \Rightarrow -x\ge 2 \Rightarrow x\le -2.$$
С учётом ограничения $$x\ne -3$$:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2].$$
г) $$\frac{8^x+44}{8^x}<23.$$
Так как $$8^x>0,$$ умножим на $$8^x$$:
$$8^x+44<23\cdot 8^x.$$
$$44<22\cdot 8^x,$$
$$2<8^x,$$
$$8^x>2=8^{1/3}.$$
Следовательно,
$$x>\frac13.$$
Ответ
а) $$a^{4,3}$$; б) $$b^{7,5}$$; в) $$c^{-3,9}$$; г) $$a^{7,5}$$; д) $$b^{-5,4}$$; е) $$c^{-2,9}$$.
а) $$[3;5)\cup(5;+\infty)$$; б) $$(0;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-3)\cup(-3;-2]$$; г) $$(\frac13;+\infty)$$.
