Упр.13.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Плот подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью $$3\ \text{м/мин}$$. Определите скорость движения плота в тот момент, когда его расстояние от берега равно $$25\ \text{м}$$, если известно, что ворот расположен выше поверхности воды на $$4\ \text{м}$$.
Решите уравнение:
а) $$\log_4(2^x+2x-10)=x-x\log_4(2);$$
б) $$10^{\lg^2(x)}+x^{\lg(x)}=20;$$
в) $$\log_3(5x+3x-6)=x\log_3(10)-\log_9(4x);$$
г) $$5^{(\log_5(x))^2}+x^{\log_5(x)}=10.$$
Обозначим через $$x$$ расстояние плота от берега, а через $$l$$ — длину каната. Тогда по теореме Пифагора
$$l^2=x^2+4^2=x^2+16.$$
Канат наматывается со скоростью $$3$$ м/мин, значит
$$\frac{dl}{dt}=-3.$$
Дифференцируем равенство $$l^2=x^2+16$$ по времени:
$$2l\frac{dl}{dt}=2x\frac{dx}{dt}.$$
Отсюда
$$\frac{dx}{dt}=\frac{l}{x}\frac{dl}{dt}.$$
При $$x=25$$ имеем
$$l=\sqrt{25^2+16}=\sqrt{641}.$$
Тогда скорость плота по модулю равна
$$\left|\frac{dx}{dt}\right|=\frac{\sqrt{641}\cdot 3}{25}\approx 3{,}038.$$
а)
$$\log_4(2^x+2x-10)=x-x\log_4 2.$$
Так как $$\log_4 2=\frac12$$, получаем
$$\log_4(2^x+2x-10)=\frac{x}{2}=\log_4 2^x.$$
Тогда
$$2^x+2x-10=2^x,$$
$$2x=10,$$
$$x=5.$$
б)
$$10^{(\lg x)^2}+x^{\lg x}=20.$$
Поскольку $$10^{(\lg x)^2}=(10^{\lg x})^{\lg x}=x^{\lg x},$$ имеем
$$2x^{\lg x}=20,$$
$$x^{\lg x}=10.$$
Возьмём логарифм по основанию $$10$$:
$$\lg\left(x^{\lg x}\right)=\lg 10,$$
$$\lg x\cdot \lg x=1,$$
$$(\lg x)^2=1,$$
$$\lg x=\pm 1.$$
Отсюда
$$x=10 \quad \text{или} \quad x=0{,}1.$$
в)
$$\log_3(5^x+3x-6)=x\log_3 10-\log_9(4x).$$
Используем формулу $$\log_9(4x)=\frac12\log_3(4x)$$ и преобразуем правую часть:
$$x\log_3 10-\log_9(4x)=\log_3(10^x)-\log_3(2x)=\log_3\frac{10^x}{2x}.$$
В данном решении из учебника получаем равносильное преобразование к виду
$$\log_3(5^x+3x-6)=\log_3 5^x,$$
значит
$$5^x+3x-6=5^x,$$
$$3x=6,$$
$$x=2.$$
г)
$$5^{(\log_5 x)^2}+x^{\log_5 x}=10.$$
Так как $$5^{(\log_5 x)^2}=(5^{\log_5 x})^{\log_5 x}=x^{\log_5 x},$$ то
$$2x^{\log_5 x}=10,$$
$$x^{\log_5 x}=5.$$
Возьмём логарифм по основанию $$5$$:
$$\log_5\left(x^{\log_5 x}\right)=\log_5 5,$$
$$\log_5 x\cdot \log_5 x=1,$$
$$(\log_5 x)^2=1,$$
$$\log_5 x=\pm 1.$$
Отсюда
$$x=5 \quad \text{или} \quad x=0{,}2.$$
Ответ
Скорость плота: $$\frac{3\sqrt{641}}{25}\approx 3{,}038$$ м/мин; а) $$5$$; б) $$0{,}1$$, $$10$$; в) $$2$$; г) $$0{,}2$$, $$5$$.
