Упр.13.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x) = cos 7x + 7cos x, a = ?/6;
б) f(x) = sin 8x + 4sin 2x, a = ?/10. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=g(x) в точке с абсциссой x=a, если:
а) g(x)=x^6-3x^2+4, a=-1;
б) g(x)=x^(-4)-6vx, a=1;
в) g(x)=12(2-x)^(-0,5), a=-2;
г) g(x)=x^5-x^3-3x, a=1;
д) g(x)=((2x)^2)^(1/3)-2, a=4;
е) g(x)=-32(17-x)^(-0,75)+9x, a=16.

1. а) $$f(x)=\cos 7x+7\cos x,\quad a=\frac{\pi}{6}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-7\sin 7x-7\sin x.$$

   Угловой коэффициент касательной в точке $$x=\frac{\pi}{6}$$:

   $$ f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right) =-7\sin\frac{7\pi}{6}-7\sin\frac{\pi}{6} =-7\left(-\frac12\right)-7\cdot\frac12=0. $$

   Ищем все точки, где касательная параллельна данной, то есть где

   $$f'(x)=0.$$

   $$ -7\sin 7x-7\sin x=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin 7x+\sin x=0 $$

   $$ 2\sin 4x\cos 3x=0. $$

   Отсюда

   $$ \sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0. $$

   $$ x=\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z. $$

2. б) $$f(x)=\sin 8x+4\sin 2x,\quad a=\frac{\pi}{10}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=8\cos 8x+8\cos 2x.$$

   Угловой коэффициент касательной в точке $$x=\frac{\pi}{10}$$:

   $$ f’\!\left(\frac{\pi}{10}\right) =8\cos\frac{4\pi}{5}+8\cos\frac{\pi}{5} =8\cos\frac{\pi}{5}-8\cos\frac{\pi}{5}=0. $$

   Ищем все точки, где

   $$f'(x)=0.$$

   $$ 8\cos 8x+8\cos 2x=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos 8x+\cos 2x=0 $$

   $$ 2\cos 5x\cos 3x=0. $$

   Следовательно,

   $$ \cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0. $$

   $$ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z. $$

3. Найдём угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=g(x)$$ в точке $$x=a$$.

   а) $$g(x)=x^6-3x^2+4,\quad a=-1.$$

   $$g'(x)=6x^5-6x,$$

   $$ g'(-1)=6(-1)^5-6(-1)=-6+6=0. $$

   б) $$g(x)=x^{-4}-6\sqrt{x},\quad a=1.$$

   $$g'(x)=-4x^{-5}-\frac{6}{2\sqrt{x}}=-4x^{-5}-\frac{3}{\sqrt{x}},$$

   $$ g'(1)=-4-3=-7. $$

   в) $$g(x)=12(2-x)^{-0.5},\quad a=-2.$$

   $$g'(x)=12\cdot(-0.5)\cdot(-1)\,(2-x)^{-1.5}=6(2-x)^{-1.5},$$

   $$ g'(-2)=6\cdot 4^{-1.5}=6\cdot\frac{1}{8}=\frac34. $$

   г) $$g(x)=x^5-x^3-3x,\quad a=1.$$

   $$g'(x)=5x^4-3x^2-3,$$

   $$ g'(1)=5-3-3=-1. $$

   д) $$g(x)=\sqrt[3]{(2x)^2}-2,\quad a=4.$$

   $$g(x)=(2x)^{2/3}-2,$$

   $$ g'(x)=\frac{2}{3}(2x)^{-1/3}\cdot 2=\frac{4}{3}(2x)^{-1/3}, $$

   $$ g'(4)=\frac{4}{3}\cdot 8^{-1/3} =\frac{4}{3}\cdot\frac12 =\frac23. $$

   е) $$g(x)=-32(17-x)^{-0.75}+9x,\quad a=16.$$

   $$g'(x)=-32\cdot(-1)\cdot(-0.75)(17-x)^{-1.75}+9,$$

   $$ g'(x)=-24(17-x)^{-1.75}+9, $$

   $$ g'(16)=-24\cdot 1^{-1.75}+9=-24+9=-15. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$
а) $$0;$$ б) $$-7;$$ в) $$\frac34;$$ г) $$-1;$$ д) $$\frac23;$$ е) $$-15.$$