Упр.13.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x)=2cos^2(x)+sin(2x)-2x;
б) f(x)=sin^2(x)-cos(2x)+2. Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) проведённой из точки N(0; 0), если:
а) f(x)=-xvx-4; б) y=(x^2)^(1/3)-3.

Подробный ответ

а) $$f(x)=2\cos^2 x+\sin 2x-2x$$
Преобразуем функцию:
$$2\cos^2 x=1+\cos 2x,$$
тогда
$$f(x)=1+\cos 2x+\sin 2x-2x.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sin 2x+2\cos 2x-2.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$-2\sin 2x+2\cos 2x-2=0,$$
$$\cos 2x-\sin 2x=1.$$
Используем формулу:
$$\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right),$$
тогда
$$\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Отсюда
$$2x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$
Получаем:
$$2x=2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pi n,$$
$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
На промежутке $$[1;5]$$ подходят значения:
$$x=\frac{3\pi}{4},\ \pi.$$
б) $$f(x)=\sin^2 x-\cos 2x+2$$
Преобразуем:
$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$
тогда
$$f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}-\cos 2x+2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\sin 2x+2\sin 2x=3\sin 2x.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$3\sin 2x=0,$$
$$\sin 2x=0,$$
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2}.$$
На промежутке $$[1;5]$$ подходят:
$$x=\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}.$$
а) $$y=-x\sqrt{x}-4$$, касательная проходит через точку $$N(0;0)$$
Пусть касание происходит при $$x=a$$. Тогда
$$f(a)=-a\sqrt{a}-4,$$
$$f'(x)=-\frac{3}{2}\sqrt{x}, \quad f'(a)=-\frac{3}{2}\sqrt{a}.$$
Уравнение касательной:
$$y=-a\sqrt{a}-4-\frac{3}{2}\sqrt{a}(x-a).$$
Так как она проходит через точку $$N(0;0)$$, получаем:
$$0=-a\sqrt{a}-4+\frac{3}{2}a\sqrt{a},$$
$$\frac{1}{2}a\sqrt{a}=4,$$
$$a\sqrt{a}=8,$$
$$a^{3/2}=8,$$
$$a=4.$$
Тогда
$$f'(4)=-\frac{3}{2}\cdot 2=-3,$$
и касательная:
$$y=-3(x-4)-12=-3x.$$
б) $$y=\sqrt[3]{x^2}-3$$, касательная проходит через точку $$N(0;0)$$
Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда
$$f(a)=\sqrt[3]{a^2}-3,$$
$$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}, \quad f'(a)=\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\sqrt[3]{a^2}-3+\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}(x-a).$$
Подставим точку $$N(0;0)$$:
$$0=\sqrt[3]{a^2}-3-\frac{2a}{3\sqrt[3]{a}}.$$
Так как $$\dfrac{a}{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[3]{a^2},$$ получаем:
$$0=\sqrt[3]{a^2}-3-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2},$$
$$\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^2}=3,$$
$$\sqrt[3]{a^2}=9,$$
$$a^2=729,$$
$$a=\pm 27.$$
Тогда
$$f'(27)=\frac{2}{3\cdot 3}=\frac{2}{9}, \qquad f'(-27)=-\frac{2}{9}.$$
Следовательно, уравнения касательных:
$$y=\frac{2}{9}x \quad \text{и} \quad y=-\frac{2}{9}x.$$