Упр.13.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y = 2arcsin 5x — 3arcctg(x/3); б) y = arcsin^2 x;
в) y = v(arcctg 5x); г) y = 4arccos (x/4) + 1/3 arcctg 3x;
д) y = 1 / arccosx; е) y = (arcsin 2x — arcctg 3x)^2. Решите уравнение f'(x)=b, если:
а) f(x)=(1/4)x^4+x^2-5, b=0; г) f(x)=1 (1/4)x^4-x^3+8, b=0;
б) f(x)=(2/3)(4-3x)^(1/2), b=-1; д) f(x)=(2x+5)^(-1/2), b=-8;
в) f(x)=(1/3)xvx-2x, b=3; е) f(x)=1,5(x^2)^(1/3)-x, b=1.
а) $$y=2\arcsin 5x-3\operatorname{arcctg}\frac{x}{3}$$
$$y’ = 2\cdot \frac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}-3\cdot\left(-\frac{1}{1+\left(\frac{x}{3}\right)^2}\cdot \frac{1}{3}\right)$$
$$y’=\frac{10}{\sqrt{1-25x^2}}+\frac{9}{x^2+9}$$
б) $$y=(\arcsin x)^2$$
$$y’=2\arcsin x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$y’=\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$$
в) $$y=\sqrt{\operatorname{arcctg} 5x}$$
$$y’=\frac{(\operatorname{arcctg} 5x)’}{2\sqrt{\operatorname{arcctg} 5x}}$$
$$y’=\frac{-\frac{5}{1+(5x)^2}}{2\sqrt{\operatorname{arcctg} 5x}}=-\frac{5}{(50x^2+2)\sqrt{\operatorname{arcctg} 5x}}$$
г) $$y=4\arccos \frac{x}{4}+\frac{1}{3}\operatorname{arcctg} 3x$$
$$y’=4\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{4}\right)^2}}\cdot \frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{3}{1+(3x)^2}\right)$$
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}}-\frac{1}{1+9x^2}$$
д) $$y=\frac{1}{\arccos x}$$
$$y’=\left(\arccos x\right)^{-1}{}’=-\frac{(\arccos x)’}{(\arccos x)^2}$$
$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\,\arccos^2 x}$$
е) $$y=(\arcsin 2x-\operatorname{arcctg} 3x)^2$$
$$y’=2(\arcsin 2x-\operatorname{arcctg} 3x)\left((\arcsin 2x)’- (\operatorname{arcctg} 3x)’\right)$$
$$y’=2(\arcsin 2x-\operatorname{arcctg} 3x)\left(\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}+\frac{3}{1+9x^2}\right)$$
Ход решения
а) $$f(x)=\frac14x^4+x^2-5,\quad b=0$$
$$f'(x)=x^3+2x$$
$$x^3+2x=0$$
$$x(x^2+2)=0$$
$$x=0$$
б) $$f(x)=\frac23(4-3x)^{1/2},\quad b=-1$$
$$f'(x)=\frac23\cdot \frac12(4-3x)^{-1/2}\cdot(-3)=-1$$
$$-(4-3x)^{-1/2}=-1$$
$$\sqrt{4-3x}=1$$
$$4-3x=1,\quad x=1$$
в) $$f(x)=\frac13x\sqrt{x}-2x,\quad b=3$$
$$f'(x)=\frac13\cdot \frac32 x^{1/2}-2=3$$
$$\frac12\sqrt{x}-2=3$$
$$\frac12\sqrt{x}=5,\quad \sqrt{x}=10,\quad x=100$$
г) $$f(x)=\frac14x^4-x^3+8,\quad b=0$$
$$f'(x)=x^3-3x^2$$
$$x^3-3x^2=0$$
$$x^2(x-3)=0$$
$$x=0,\quad x=3$$
д) $$f(x)=(2x+5)^{-1/2},\quad b=-8$$
$$f'(x)=-\frac12(2x+5)^{-3/2}\cdot 2=-(2x+5)^{-3/2}$$
$$-(2x+5)^{-3/2}=-8$$
$$ (2x+5)^{3/2}=\frac18$$
$$2x+5=\frac14,\quad 2x=-\frac{19}{4},\quad x=-\frac{19}{8}$$
е) $$f(x)=1{,}5\sqrt[3]{x^2}-x,\quad b=1$$
$$f'(x)=1{,}5\cdot \frac23 x^{-1/3}-1=1$$
$$x^{-1/3}=2,\quad x^{1/3}=\frac12,\quad x=\frac18$$
Ответ
Производные:
а) $$y’=\frac{10}{\sqrt{1-25x^2}}+\frac{9}{x^2+9}$$;
б) $$y’=\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$$;
в) $$y’=-\frac{5}{(50x^2+2)\sqrt{\operatorname{arcctg} 5x}}$$;
г) $$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}}-\frac{1}{1+9x^2}$$;
д) $$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\,\arccos^2 x}$$;
е) $$y’=2(\arcsin 2x-\operatorname{arcctg} 3x)\left(\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}+\frac{3}{1+9x^2}\right)$$.
Уравнения:
а) $$x=0$$;
б) $$x=1$$;
в) $$x=100$$;
г) $$x=0,\ 3$$;
д) $$x=-\frac{19}{8}$$;
е) $$x=\frac18$$.
