Упр.13.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите производную данной функции.

   а) $$y=\sin\sqrt{3x-1}$$; б) $$y=\frac{1}{\sin^2x+\frac{1}{\cos^3x}}$$; в) $$y=\cos\sqrt{1-4x}$$; г) $$y=\frac{1}{\sqrt{3x-1}}$$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$, параллельной указанной прямой:

   а) $$f(x)=8(x-4)^{\frac14}$$, $$y=2x+3$$; б) $$f(x)=(x+2)^{-3}$$, $$y=2-3x$$.

1. Найдём производные функций.

   а) $$y=\sin\sqrt{3x-1}$$

   $$y’=\cos\sqrt{3x-1}\cdot \left(\sqrt{3x-1}\right)’$$
   $$\left(\sqrt{3x-1}\right)’=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$$
   $$y’=\frac{3\cos\sqrt{3x-1}}{2\sqrt{3x-1}}$$

   б) $$y=\frac{1}{\sin^2 x+\cos^3 x}$$

   $$y’=-\frac{(\sin^2 x+\cos^3 x)’}{(\sin^2 x+\cos^3 x)^2}$$
   $$(\sin^2 x+\cos^3 x)’=2\sin x\cos x-3\cos^2 x\sin x$$
   $$y’=-\frac{2\sin x\cos x-3\cos^2 x\sin x}{(\sin^2 x+\cos^3 x)^2}$$
   $$y’=\frac{\sin x\cos x\,(3\cos x-2)}{(\sin^2 x+\cos^3 x)^2}$$

   в) $$y=\cos\sqrt{1-4x}$$

   $$y’=-\sin\sqrt{1-4x}\cdot \left(\sqrt{1-4x}\right)’$$
   $$\left(\sqrt{1-4x}\right)’=\frac{-4}{2\sqrt{1-4x}}$$
   $$y’=\frac{2\sin\sqrt{1-4x}}{\sqrt{1-4x}}$$

   г) $$y=\frac{1}{\sqrt{3x-1}}=(3x-1)^{-\frac12}$$

   $$y’=-\frac12(3x-1)^{-\frac32}\cdot 3$$
   $$y’=-\frac{3}{2(3x-1)^{3/2}}$$
   $$y’=-\frac{3}{2(3x-1)\sqrt{3x-1}}$$

2. Составим уравнение касательной, параллельной данной прямой.

   а) $$f(x)=8\sqrt[4]{x-4}, \quad y=2x+3$$

   Угловой коэффициент прямой равен $$2$$, значит,
   $$f'(x)=2.$$
   $$f'(x)=8\cdot \frac14 (x-4)^{-3/4}=2(x-4)^{-3/4}$$
   $$2(x-4)^{-3/4}=2$$
   $$(x-4)^{-3/4}=1$$
   $$x-4=1,\quad x=5$$
   $$f(5)=8\sqrt[4]{5-4}=8$$
   Уравнение касательной:
   $$y-8=2(x-5)$$
   $$y=2x-2$$

   б) $$f(x)=(x+2)^{-3}, \quad y=2-3x$$

   Угловой коэффициент прямой равен $$-3$$, значит,
   $$f'(x)=-3.$$
   $$f'(x)=-3(x+2)^{-4}$$
   $$-3(x+2)^{-4}=-3$$
   $$(x+2)^{-4}=1$$
   $$x+2=1,\quad x=-1$$
   $$f(-1)=(-1+2)^{-3}=1$$
   Уравнение касательной:
   $$y-1=-3(x+1)$$
   $$y=-3x-2$$

Ответ

а) $$y’=\frac{3\cos\sqrt{3x-1}}{2\sqrt{3x-1}}$$;
б) $$y’=\frac{\sin x\cos x\,(3\cos x-2)}{(\sin^2 x+\cos^3 x)^2}$$;
в) $$y’=\frac{2\sin\sqrt{1-4x}}{\sqrt{1-4x}}$$;
г) $$y’=-\frac{3}{2(3x-1)\sqrt{3x-1}}$$.

Касательные:
а) $$y=2x-2$$;
б) $$y=-3x-2$$.