Упр.13.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = 1/sin x; б) y = vtg x;
в) y = sin^3 2x + cos^2 3x; г) y = 1/cos 3x;
д) y = vctg x; е) y = 2tg^2 (x/2) — 4ctg^2 (x/4). Составьте уравнение касательной к графику данной функции в точке x=a:
а) y=x^4-3x^3+2, a=2; г) y=-x^4+5x^2-4, a=2;
б) y=2x^(2/3)-3, a=8; д) y=3+x^(-3/4), a=1;
в) y=1/v(2x+1), a=4; е) y=(5x+2)^(1/5), a=6.

1. Найдём производные функций:

   а) $$y=\frac{1}{\sin x}$$
   $$y’=\left(\sin x\right)’\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}=-\frac{\ctg x}{\sin x}$$

   б) $$y=\sqrt{\tg x}$$
   $$y’=(\tg x)’\cdot \frac{1}{2\sqrt{\tg x}}=\frac{1}{2\cos^2 x\cdot \sqrt{\tg x}}$$

   в) $$y=\sin^3 2x+\cos^2 3x$$
   $$y’=(\sin 2x)’\cdot 3\sin^2 2x+(\cos 3x)’\cdot 2\cos 3x$$
   $$y’=2\cos 2x\cdot 3\sin^2 2x-3\sin 3x\cdot 2\cos 3x$$
   $$y’=6\sin^2 2x\cos 2x-6\sin 3x\cos 3x$$
   $$y’=3\left(\sin 4x\sin 2x-\sin 6x\right)$$

   г) $$y=\frac{1}{\cos 3x}$$
   $$y’=(\cos 3x)’\cdot\left(-\frac{1}{\cos^2 3x}\right)=\frac{3\sin 3x}{\cos^2 3x}=\frac{3\tg 3x}{\cos 3x}$$

   д) $$y=\sqrt{\ctg x}$$
   $$y’=(\ctg x)’\cdot \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}}=-\frac{1}{2\sin^2 x\cdot \sqrt{\ctg x}}$$

   е) $$y=2\tg^2\frac{x}{2}-4\ctg^2\frac{x}{4}$$
   $$y’=2\cdot\left(\tg\frac{x}{2}\right)’\cdot 2\tg\frac{x}{2}-4\cdot\left(\ctg\frac{x}{4}\right)’\cdot 2\ctg\frac{x}{4}$$
   $$y’=2\left(\frac{\tg^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}+\frac{\ctg^2\frac{x}{4}}{\sin^2\frac{x}{4}}\right) =2\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos^3\frac{x}{2}}+\frac{\cos\frac{x}{4}}{\sin^3\frac{x}{4}}\right)$$

2. Составим уравнение касательной к графику функции в точке $$x=a$$:

   а) $$y=x^4-3x^3+2,\quad a=2$$
   $$f'(x)=4x^3-9x^2$$
   $$f'(2)=4\cdot 8-9\cdot 4=-4,\qquad f(2)=16-24+2=-6$$
   $$y=-6-4(x-2)=2-4x$$

   б) $$y=2x^{2/3}-3,\quad a=8$$
   $$f'(x)=2\cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{4}{3x^{1/3}}$$
   $$f'(8)=\frac{4}{3\cdot 2}=\frac{2}{3},\qquad f(8)=2\cdot 4-3=5$$
   $$y=5+\frac{2}{3}(x-8)=\frac{2x-1}{3}$$

   в) $$y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},\quad a=4$$
   $$f'(x)=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(2x+1)^{-3/2}=-(2x+1)^{-3/2}$$
   $$f'(4)=-(9)^{-3/2}=-\frac{1}{27},\qquad f(4)=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$$
   $$y=\frac{1}{3}-\frac{1}{27}(x-4)=\frac{13-x}{27}$$

   г) $$y=-x^4+5x^2-4,\quad a=2$$
   $$f'(x)=-4x^3+10x$$
   $$f'(2)=-4\cdot 8+10\cdot 2=-12,\qquad f(2)=-16+20-4=0$$
   $$y=0-12(x-2)=24-12x$$

   д) $$y=3+x^{-3/4},\quad a=1$$
   $$f'(x)=-\frac{3}{4}x^{-7/4}$$
   $$f'(1)=-\frac{3}{4},\qquad f(1)=3+1=4$$
   $$y=4-\frac{3}{4}(x-1)=\frac{19-3x}{4}$$

   е) $$y=\sqrt[5]{5x+2},\quad a=6$$
   $$f'(x)=\frac{1}{5}(5x+2)^{-4/5}\cdot 5=(5x+2)^{-4/5}$$
   $$f'(6)=32^{-4/5}=\frac{1}{16},\qquad f(6)=\sqrt[5]{32}=2$$
   $$y=2+\frac{1}{16}(x-6)=\frac{x+26}{16}$$

Ответ

а) $$y’=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$$
б) $$y’=\frac{1}{2\cos^2 x\sqrt{\tg x}}$$
в) $$y’=6\sin^2 2x\cos 2x-6\sin 3x\cos 3x$$
г) $$y’=\frac{3\sin 3x}{\cos^2 3x}$$
д) $$y’=-\frac{1}{2\sin^2 x\sqrt{\ctg x}}$$
е) $$y’=2\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos^3\frac{x}{2}}+\frac{\cos\frac{x}{4}}{\sin^3\frac{x}{4}}\right)$$

а) $$y=2-4x$$
б) $$y=\frac{2x-1}{3}$$
в) $$y=\frac{13-x}{27}$$
г) $$y=24-12x$$
д) $$y=\frac{19-3x}{4}$$
е) $$y=\frac{x+26}{16}$$