Упр.13.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x) = 3cos 5x, g(x) = 5cos 3x + 2;
б) f(x) = 2 — 14sin 3x, g(x) = 6sin 7x. Найдите угол, который образует с осью х касательная к графику функции y=h(x), проведённая в точке с абсциссой x=a, если:
а) h(x)=x^4-4x^3-4x^2+1, a=-1;
б) h(x)=((3x+2)^2)^(1/3), a=2;
в) h(x)=(3x-1)^(1/3)+2, a=2/3;
г) h(x)=-x^5+7x^3-x+2, a=0;
д) h(x)=-3(x-v2)^(-1/3), a=v2+1;
е) h(x)=5((3x-2)^2)^(1/5)-5x, a=1/3.

1. а) $$f(x)=3\cos 5x,\quad g(x)=5\cos 3x+2.$$

   Касательные параллельны, если $$f'(x)=g'(x).$$

   $$f'(x)=-15\sin 5x,\quad g'(x)=-15\sin 3x,$$
   $$-15\sin 5x=-15\sin 3x,$$
   $$\sin 5x-\sin 3x=0.$$

   $$2\cos 4x\sin x=0.$$

   Отсюда

   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},$$
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$f(x)=2-14\sin 3x,\quad g(x)=6\sin 7x.$$

   $$f'(x)=-42\cos 3x,\quad g'(x)=42\cos 7x,$$
   $$-42\cos 3x=42\cos 7x,$$
   $$\cos 7x+\cos 3x=0.$$

   $$2\cos 5x\cos 2x=0.$$

   Значит,

   $$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

   $$5x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. а) $$h(x)=x^4-4x^3-4x^2+1,\quad a=-1.$$

   $$h'(x)=4x^3-12x^2-8x,$$
   $$h'(-1)=4(-1)^3-12(-1)^2-8(-1)=-4-12+8=-8.$$

   $$\tan\alpha=-8,$$
   $$\alpha=\pi-\arctan 8.$$

4. б) $$h(x)=\sqrt[3]{(3x+2)^2},\quad a=2.$$

   $$h'(x)=\frac{2}{3}(3x+2)^{-1/3}\cdot 3=2(3x+2)^{-1/3},$$
   $$h'(2)=2\cdot 8^{-1/3}=2\cdot \frac12=1.$$

   $$\tan\alpha=1,\quad \alpha=45^\circ.$$

5. в) $$h(x)=\sqrt[3]{3x-1}+2,\quad a=\frac23.$$

   $$h'(x)=\frac13(3x-1)^{-2/3}\cdot 3=(3x-1)^{-2/3},$$
   $$h’\!\left(\frac23\right)=\left(3\cdot\frac23-1\right)^{-2/3}=1.$$

   $$\tan\alpha=1,\quad \alpha=45^\circ.$$

6. г) $$h(x)=-x^5+7x^3-x+2,\quad a=0.$$

   $$h'(x)=-5x^4+21x^2-1,$$
   $$h'(0)=-1.$$

   $$\tan\alpha=-1,\quad \alpha=135^\circ.$$

7. д) $$h(x)=-3(x-\sqrt2)^{-1/3},\quad a=\sqrt2+1.$$

   $$h'(x)=-3\cdot\left(-\frac13\right)(x-\sqrt2)^{-4/3}=(x-\sqrt2)^{-4/3},$$
   $$h'(\sqrt2+1)=1^{-4/3}=1.$$

   $$\tan\alpha=1,\quad \alpha=45^\circ.$$

8. е) $$h(x)=5\sqrt[5]{(3x-2)^2}-5x,\quad a=\frac13.$$

   $$h'(x)=5\cdot \frac{2}{5}(3x-2)^{-3/5}\cdot 3-5=6(3x-2)^{-3/5}-5,$$
   $$h’\!\left(\frac13\right)=6(-1)^{-3/5}-5=-6-5=-11.$$

   $$\tan\alpha=-11,\quad \alpha=\pi-\arctan 11.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$\pi-\arctan 8.$$
б) $$45^\circ.$$
в) $$45^\circ.$$
г) $$135^\circ.$$
д) $$45^\circ.$$
е) $$\pi-\arctan 11.$$