Упр.13.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите все значения $$x$$, при каждом из которых касательные к графикам функций $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ параллельны, если:
а) $$f(x)=3\cos 5x,\quad g(x)=5\cos 3x+2$$;
б) $$f(x)=2-14\sin 3x,\quad g(x)=6\sin 7x$$. - Найдите угол, который образует с осью $$x$$ касательная к графику функции $$y=h(x)$$, проведённая в точке с абсциссой $$x=a$$, если:
а) $$h(x)=x^4-4x^3-4x^2+1,\quad a=-1$$;
б) $$h(x)=\left((3x+2)^2\right)^{1/3},\quad a=2$$;
в) $$h(x)=(3x-1)^{1/3}+2,\quad a=\frac{2}{3}$$;
г) $$h(x)=-x^5+7x^3-x+2,\quad a=0$$;
д) $$h(x)=-3(x-\sqrt{2})^{-1/3},\quad a=\sqrt{2}+1$$;
е) $$h(x)=5\left((3x-2)^2\right)^{1/5}-5x,\quad a=\frac{1}{3}$$.
а) $$f(x)=3\cos 5x,\quad g(x)=5\cos 3x+2.$$
Касательные параллельны, если $$f'(x)=g'(x).$$
$$f'(x)=-15\sin 5x,\quad g'(x)=-15\sin 3x,$$
$$-15\sin 5x=-15\sin 3x,$$
$$\sin 5x-\sin 3x=0.$$$$2\cos 4x\sin x=0.$$
Отсюда
$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$
$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$б) $$f(x)=2-14\sin 3x,\quad g(x)=6\sin 7x.$$
$$f'(x)=-42\cos 3x,\quad g'(x)=42\cos 7x,$$
$$-42\cos 3x=42\cos 7x,$$
$$\cos 7x+\cos 3x=0.$$$$2\cos 5x\cos 2x=0.$$
Значит,
$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$
$$5x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$а) $$h(x)=x^4-4x^3-4x^2+1,\quad a=-1.$$
$$h'(x)=4x^3-12x^2-8x,$$
$$h'(-1)=4(-1)^3-12(-1)^2-8(-1)=-4-12+8=-8.$$$$\tan\alpha=-8,$$
$$\alpha=\pi-\arctan 8.$$б) $$h(x)=\sqrt[3]{(3x+2)^2},\quad a=2.$$
$$h'(x)=\frac{2}{3}(3x+2)^{-1/3}\cdot 3=2(3x+2)^{-1/3},$$
$$h'(2)=2\cdot 8^{-1/3}=2\cdot \frac12=1.$$$$\tan\alpha=1,\quad \alpha=45^\circ.$$
в) $$h(x)=\sqrt[3]{3x-1}+2,\quad a=\frac23.$$
$$h'(x)=\frac13(3x-1)^{-2/3}\cdot 3=(3x-1)^{-2/3},$$
$$h’\!\left(\frac23\right)=\left(3\cdot\frac23-1\right)^{-2/3}=1.$$$$\tan\alpha=1,\quad \alpha=45^\circ.$$
г) $$h(x)=-x^5+7x^3-x+2,\quad a=0.$$
$$h'(x)=-5x^4+21x^2-1,$$
$$h'(0)=-1.$$$$\tan\alpha=-1,\quad \alpha=135^\circ.$$
д) $$h(x)=-3(x-\sqrt2)^{-1/3},\quad a=\sqrt2+1.$$
$$h'(x)=-3\cdot\left(-\frac13\right)(x-\sqrt2)^{-4/3}=(x-\sqrt2)^{-4/3},$$
$$h'(\sqrt2+1)=1^{-4/3}=1.$$$$\tan\alpha=1,\quad \alpha=45^\circ.$$
е) $$h(x)=5\sqrt[5]{(3x-2)^2}-5x,\quad a=\frac13.$$
$$h'(x)=5\cdot \frac{2}{5}(3x-2)^{-3/5}\cdot 3-5=6(3x-2)^{-3/5}-5,$$
$$h’\!\left(\frac13\right)=6(-1)^{-3/5}-5=-6-5=-11.$$$$\tan\alpha=-11,\quad \alpha=\pi-\arctan 11.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$\pi-\arctan 8.$$
б) $$45^\circ.$$
в) $$45^\circ.$$
г) $$135^\circ.$$
д) $$45^\circ.$$
е) $$\pi-\arctan 11.$$
