Упр.13.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=(1/2)sin(4x)+sin(2x)-(2/3)sin(3x);
б) f(x)=(2x-5)^3+(2x-5)^2+x;
в) f(x)=x^2v(3-2x);
г) f(x)=0,2cos(5x)-(1/3)cos(3x)+(1/4)sin(4x);
д) f(x)=(1-3x)^3-(1-3x)^2+3x;
е) f(x)=x^2/v(4x-1). Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x_0, если:
а) f(x)=x^5-4x^2+3x, x_0=1;
б) f(x)=x^4-2vx, a=9;
в) f(x)=0,5(2-5x)^(-5), a=0,2;
г) f(x)=-x^4+2x^3-5, x_0=-1;
д) f(x)=(6x+7)^(1/3), a=1/6;
е) f(x)=x^(-0,5)+x^(-1,5)+3x, a=4.

1. а)

   $$f(x)=\frac12\sin 4x+\sin 2x-\frac23\sin 3x$$
   $$f'(x)=2\cos 4x+2\cos 2x-2\cos 3x=0$$
   $$\cos 4x+\cos 2x-\cos 3x=0$$
   $$2\cos 3x\cos x-\cos 3x=0$$
   $$\cos 3x\,(2\cos x-1)=0$$

   $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$
   $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

2. б)

   $$f(x)=(2x-5)^3+(2x-5)^2+x$$
   $$f'(x)=2\cdot 3(2x-5)^2+2\cdot 2(2x-5)+1$$
   $$6(2x-5)^2+4(2x-5)+1=0$$
   $$24x^2-112x+131=0$$
   $$D=(-112)^2-4\cdot 24\cdot 131=12544-12576=-32<0$$

   Корней нет.

3. в)

   $$f(x)=x^2\sqrt{3-2x}$$
   $$f'(x)=2x\sqrt{3-2x}-\frac{x^2}{\sqrt{3-2x}}=0$$
   $$2x(3-2x)-x^2=0$$
   $$x(6-5x)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=\frac65$$

4. г)

   $$f(x)=0{,}2\cos 5x-\frac13\cos 3x+\frac14\sin 4x$$
   $$f'(x)=-\sin 5x+\sin 3x+\cos 4x=0$$
   $$\cos 4x+\sin 3x-\sin 5x=0$$
   $$\cos 4x-2\sin x\cos 4x=0$$
   $$\cos 4x\,(1-2\sin x)=0$$

   $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$
   $$1-2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

5. д)

   $$f(x)=(1-3x)^3-(1-3x)^2+3x$$
   $$f'(x)=-9(1-3x)^2+6(1-3x)+3=0$$
   $$-9(1-6x+9x^2)+6(1-3x)+3=0$$
   $$81x^2-36x=0$$
   $$9x(9x-4)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=\frac49$$

6. е)

   $$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{4x-1}}$$
   $$f'(x)=\frac{2x\sqrt{4x-1}-\frac{4x^2}{2\sqrt{4x-1}}}{4x-1}=0$$
   $$2x(4x-1)-2x^2=0$$
   $$2x(3x-1)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=\frac13$$
   $$4x-1>0$$

   Подходит только $$x=\frac13$$.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$;
б) корней нет;
в) $$x=0,\; \frac65$$;
г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
д) $$x=0,\; \frac49$$;
е) $$x=\frac13$$.