Упр.13.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение $$f(x)=0$$, если:
а) $$f(x)=\frac{1}{2}\sin(4x)+\sin(2x)-\frac{2}{3}\sin(3x)$$;
б) $$f(x)=(2x-5)^3+(2x-5)^2+x$$;
в) $$f(x)=x^2v(3-2x)$$;
г) $$f(x)=0{,}2\cos(5x)-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{4}\sin(4x)$$;
д) $$f(x)=(1-3x)^3-(1-3x)^2+3x$$;
е) $$f(x)=\frac{x^2}{v(4x-1)}$$. - Найдите значение производной функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_0$$, если:
а) $$f(x)=x^5-4x^2+3x$$, $$x_0=1$$;
б) $$f(x)=x^4-2vx$$, $$a=9$$;
в) $$f(x)=0{,}5(2-5x)^{-5}$$, $$a=0{,}2$$;
г) $$f(x)=-x^4+2x^3-5$$, $$x_0=-1$$;
д) $$f(x)=(6x+7)^{\frac{1}{3}}$$, $$a=\frac{1}{6}$$;
е) $$f(x)=x^{-0{,}5}+x^{-1{,}5}+3x$$, $$a=4$$.
а)
$$f(x)=\frac12\sin 4x+\sin 2x-\frac23\sin 3x$$
$$f'(x)=2\cos 4x+2\cos 2x-2\cos 3x=0$$
$$\cos 4x+\cos 2x-\cos 3x=0$$
$$2\cos 3x\cos x-\cos 3x=0$$
$$\cos 3x\,(2\cos x-1)=0$$$$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$
$$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$б)
$$f(x)=(2x-5)^3+(2x-5)^2+x$$
$$f'(x)=2\cdot 3(2x-5)^2+2\cdot 2(2x-5)+1$$
$$6(2x-5)^2+4(2x-5)+1=0$$
$$24x^2-112x+131=0$$
$$D=(-112)^2-4\cdot 24\cdot 131=12544-12576=-32<0$$Корней нет.
в)
$$f(x)=x^2\sqrt{3-2x}$$
$$f'(x)=2x\sqrt{3-2x}-\frac{x^2}{\sqrt{3-2x}}=0$$
$$2x(3-2x)-x^2=0$$
$$x(6-5x)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=\frac65$$г)
$$f(x)=0{,}2\cos 5x-\frac13\cos 3x+\frac14\sin 4x$$
$$f'(x)=-\sin 5x+\sin 3x+\cos 4x=0$$
$$\cos 4x+\sin 3x-\sin 5x=0$$
$$\cos 4x-2\sin x\cos 4x=0$$
$$\cos 4x\,(1-2\sin x)=0$$$$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$
$$1-2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$д)
$$f(x)=(1-3x)^3-(1-3x)^2+3x$$
$$f'(x)=-9(1-3x)^2+6(1-3x)+3=0$$
$$-9(1-6x+9x^2)+6(1-3x)+3=0$$
$$81x^2-36x=0$$
$$9x(9x-4)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=\frac49$$е)
$$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{4x-1}}$$
$$f'(x)=\frac{2x\sqrt{4x-1}-\frac{4x^2}{2\sqrt{4x-1}}}{4x-1}=0$$
$$2x(4x-1)-2x^2=0$$
$$2x(3x-1)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=\frac13$$
$$4x-1>0$$Подходит только $$x=\frac13$$.
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$;
б) корней нет;
в) $$x=0,\; \frac65$$;
г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
д) $$x=0,\; \frac49$$;
е) $$x=\frac13$$.
