Упр.13.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) g(x)=(6x-17)^2, y=12x+7;
б) g(x)=x+v(2x-1), y=2x+5;
в) g(x)=(11-5x)^3, y=4-15x;
г) g(x)=2x+v(5-4x), y=x. Найдите производную данной функции:
а) y=x^2x^(1/3); в) y=x^3x^(1/4); д) y=vx(x+x^(1/3));
б) y=x^3/vx; г) y=x^(1/3)/x^2; е) y=x^2(vx-x^(1/3)).
а) $$g(x)=(6x-17)^2,\quad y=12x+7.$$
Угловой коэффициент касательной должен быть равен $$12$$. Найдём производную:
$$g'(x)=2(6x-17)\cdot 6=12(6x-17).$$
Приравниваем к $$12$$:
$$12(6x-17)=12 \Rightarrow 6x-17=1 \Rightarrow x=3.$$
$$g(3)=(18-17)^2=1.$$
Уравнение касательной:
$$y-1=12(x-3),$$
то есть
$$y=12x-35.$$
б) $$g(x)=x+\sqrt{2x-1},\quad y=2x+5.$$
$$g'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.$$
Приравниваем к $$2$$:
$$1+\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x-1}}=1 \Rightarrow \sqrt{2x-1}=1.$$
$$2x-1=1 \Rightarrow x=1.$$
$$g(1)=1+\sqrt{1}=2.$$
Уравнение касательной:
$$y-2=2(x-1),$$
то есть
$$y=2x.$$
в) $$g(x)=(11-5x)^3,\quad y=4-15x.$$
$$g'(x)=-15(11-5x)^2.$$
Приравниваем к $$-15$$:
$$-15(11-5x)^2=-15 \Rightarrow (11-5x)^2=1.$$
Отсюда:
$$11-5x=1 \Rightarrow x=2,$$
или
$$11-5x=-1 \Rightarrow x=\frac{12}{5}.$$
Найдём значения функции:
$$g(2)=(11-10)^3=1,$$
$$g\!\left(\frac{12}{5}\right)=(11-12)^3=-1.$$
Касательные:
$$y-1=-15(x-2), \quad y=-15x+31,$$
$$y+1=-15\left(x-\frac{12}{5}\right), \quad y=-15x+35.$$
г) $$g(x)=2x+\sqrt{5-4x},\quad y=x.$$
$$g'(x)=2-\frac{2}{\sqrt{5-4x}}.$$
Приравниваем к $$1$$:
$$2-\frac{2}{\sqrt{5-4x}}=1 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{5-4x}}=1 \Rightarrow \sqrt{5-4x}=2.$$
$$5-4x=4 \Rightarrow x=\frac14.$$
$$g\!\left(\frac14\right)=\frac12+\sqrt{4}=\frac52.$$
Уравнение касательной:
$$y-\frac52=1\left(x-\frac14\right),$$
то есть
$$y=x+\frac94.$$
Найдём производные.
а) $$y=x^2\sqrt[3]{x}=x^{7/3},$$
$$y’=\frac73x^{4/3}=\frac73x\sqrt[3]{x}.$$
б) $$y=\frac{x^3}{\sqrt{x}}=x^{5/2},$$
$$y’=\frac52x^{3/2}=\frac52x\sqrt{x}.$$
в) $$y=x^3\sqrt[4]{x}=x^{13/4},$$
$$y’=\frac{13}{4}x^{9/4}=\frac{13}{4}x^2\sqrt[4]{x}.$$
г) $$y=\frac{\sqrt[3]{x}}{x^2}=x^{-5/3},$$
$$y’=-\frac53x^{-8/3}=-\frac{5}{3x^2\sqrt[3]{x^2}}.$$
д) $$y=\sqrt{x}\left(x+\sqrt[3]{x}\right)=x^{3/2}+x^{5/6},$$
$$y’=\frac32x^{1/2}+\frac56x^{-1/6}=\frac32\sqrt{x}+\frac{5}{6\sqrt[6]{x}}.$$
е) $$y=x^2\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}\right)=x^{5/2}-x^{7/3},$$
$$y’=\frac52x^{3/2}-\frac73x^{4/3}=\frac52x\sqrt{x}-\frac73x\sqrt[3]{x}.$$
Ответ
Касательные: а) $$y=12x-35$$; б) $$y=2x$$; в) $$y=-15x+31$$ и $$y=-15x+35$$; г) $$y=x+\frac94$$.
Производные: а) $$y’=\frac73x\sqrt[3]{x}$$; б) $$y’=\frac52x\sqrt{x}$$; в) $$y’=\frac{13}{4}x^2\sqrt[4]{x}$$; г) $$y’=-\frac{5}{3x^2\sqrt[3]{x^2}}$$; д) $$y’=\frac32\sqrt{x}+\frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$$; е) $$y’=\frac52x\sqrt{x}-\frac73x\sqrt[3]{x}$$.
