Упр.13.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=2v(3x-5), a=2;
б) y=v3cos(x/3), a=?;
в) y=v(7-2x), a=3;
г) y=v2sin(2x), a=?/8. Найдите производную данной функции:
а) y=x^3+x^(-3)-3x^(1/3); г) y=1/(6x^6)+2(x^(-1))^(1/3)-3^(1/3);
б) y=x^4+x^(-4)+2x^(1/4); д) y=x^5-9/x^(1/3)+x^(-2);
в) y=0,5x^4-xvx-v2; е) y=x^8-6x x^(1/5)-x^0,7.

1. а) $$y=2\sqrt{3x-5}, \quad a=2.$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=2\cdot \frac{3}{2\sqrt{3x-5}}=\frac{3}{\sqrt{3x-5}}.$$

   $$y'(2)=\frac{3}{\sqrt{6-5}}=3, \qquad y(2)=2\sqrt{6-5}=2.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-2=3(x-2),$$

   $$y=3x-4.$$

2. б) $$y=\sqrt{3}\cos\frac{x}{3}, \quad a=\pi.$$

   $$y'(x)=-\sqrt{3}\cdot \frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{x}{3}.$$

   $$y'(\pi)=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}, \qquad y(\pi)=\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}(x-\pi),$$

   $$y=\frac{-x+\sqrt{3}+\pi}{2}.$$

3. в) $$y=\sqrt{7-2x}, \quad a=3.$$

   $$y'(x)=\frac{-2}{2\sqrt{7-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{7-2x}}.$$

   $$y'(3)=-\frac{1}{\sqrt{7-6}}=-1, \qquad y(3)=\sqrt{7-6}=1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-1=-1(x-3),$$

   $$y=4-x.$$

4. г) $$y=\sqrt{2}\sin 2x, \quad a=\frac{\pi}{8}.$$

   $$y'(x)=\sqrt{2}\cdot 2\cos 2x=2\sqrt{2}\cos 2x.$$

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}=2, \qquad y\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}=1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-1=2\left(x-\frac{\pi}{8}\right),$$

   $$y=2x+1-\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

1. $$y=3x-4$$
2. $$y=\frac{-x+\sqrt{3}+\pi}{2}$$
3. $$y=4-x$$
4. $$y=2x+1-\frac{\pi}{4}$$

Ход решения

1. а) $$y=x^3+x^{-3}-3x^{1/3}.$$

   $$y'(x)=3x^2-3x^{-4}-3\cdot \frac{1}{3}x^{-2/3}$$

   $$y'(x)=3x^2-3x^{-4}-x^{-2/3}.$$

2. б) $$y=x^4+x^{-4}+2x^{1/4}.$$

   $$y'(x)=4x^3-4x^{-5}+2\cdot \frac{1}{4}x^{-3/4}$$

   $$y'(x)=4x^3-4x^{-5}+\frac{1}{2}x^{-3/4}.$$

3. в) $$y=0{,}5x^4-x\sqrt{x}-\sqrt{2}.$$

   $$y'(x)=0{,}5\cdot 4x^3-\frac{3}{2}x^{1/2}$$

   $$y'(x)=2x^3-\frac{3}{2}\sqrt{x}.$$

4. г) $$y=\frac{1}{6x^6}+2\sqrt[3]{x^{-1}}-\sqrt[3]{3}.$$

   $$y'(x)=-\frac{1}{6}\cdot 6x^{-7}+2\left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}\right)$$

   $$y'(x)=-x^{-7}-\frac{2}{3}x^{-4/3}.$$

5. д) $$y=x^5-\frac{9}{\sqrt[3]{x}}+x^{-2}.$$

   $$y'(x)=5x^4-9\left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}\right)-2x^{-3}$$

   $$y'(x)=5x^4+3x^{-4/3}-2x^{-3}.$$

6. е) $$y=x^8-6x\sqrt[5]{x}-x^{0{,}7}.$$

   $$y'(x)=8x^7-6\cdot \frac{6}{5}x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}$$

   $$y'(x)=8x^7-7{,}2x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}.$$

Ответ

1. $$y’=3x^2-3x^{-4}-x^{-2/3}$$
2. $$y’=4x^3-4x^{-5}+\frac{1}{2}x^{-3/4}$$
3. $$y’=2x^3-\frac{3}{2}\sqrt{x}$$
4. $$y’=-x^{-7}-\frac{2}{3}x^{-4/3}$$
5. $$y’=5x^4+3x^{-4/3}-2x^{-3}$$
6. $$y’=8x^7-7{,}2x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}$$