Упр.13.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Составьте уравнение касательной, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой $$a$$:
а) $$y=2\sqrt{3x-5},\ a=2$$;
б) $$y=\sqrt{3}\cos\left(\frac{x}{3}\right),\ a=?$$;
в) $$y=\sqrt{7-2x},\ a=3$$;
г) $$y=\sqrt{2}\sin(2x),\ a=?/8$$. - Найдите производную данной функции:
а) $$y=x^3+x^{-3}-3x^{\frac{1}{3}}$$;
б) $$y=x^4+x^{-4}+2x^{\frac{1}{4}}$$;
в) $$y=0{,}5x^4-x\sqrt{x}-\sqrt{2}$$;
г) $$y=\frac{1}{6x^6}+2\left(x^{-1}\right)^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{1}{3}}$$;
д) $$y=x^5-\frac{9}{x^{\frac{1}{3}}}+x^{-2}$$;
е) $$y=x^8-6x\cdot x^{\frac{1}{5}}-x^{0{,}7}$$.
а) $$y=2\sqrt{3x-5}, \quad a=2.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=2\cdot \frac{3}{2\sqrt{3x-5}}=\frac{3}{\sqrt{3x-5}}.$$
$$y'(2)=\frac{3}{\sqrt{6-5}}=3, \qquad y(2)=2\sqrt{6-5}=2.$$
Уравнение касательной:
$$y-2=3(x-2),$$
$$y=3x-4.$$
б) $$y=\sqrt{3}\cos\frac{x}{3}, \quad a=\pi.$$
$$y'(x)=-\sqrt{3}\cdot \frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{x}{3}.$$
$$y'(\pi)=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}, \qquad y(\pi)=\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Уравнение касательной:
$$y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}(x-\pi),$$
$$y=\frac{-x+\sqrt{3}+\pi}{2}.$$
в) $$y=\sqrt{7-2x}, \quad a=3.$$
$$y'(x)=\frac{-2}{2\sqrt{7-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{7-2x}}.$$
$$y'(3)=-\frac{1}{\sqrt{7-6}}=-1, \qquad y(3)=\sqrt{7-6}=1.$$
Уравнение касательной:
$$y-1=-1(x-3),$$
$$y=4-x.$$
г) $$y=\sqrt{2}\sin 2x, \quad a=\frac{\pi}{8}.$$
$$y'(x)=\sqrt{2}\cdot 2\cos 2x=2\sqrt{2}\cos 2x.$$
$$y’\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}=2, \qquad y\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}=1.$$
Уравнение касательной:
$$y-1=2\left(x-\frac{\pi}{8}\right),$$
$$y=2x+1-\frac{\pi}{4}.$$
Ответ
- $$y=3x-4$$
- $$y=\frac{-x+\sqrt{3}+\pi}{2}$$
- $$y=4-x$$
- $$y=2x+1-\frac{\pi}{4}$$
а) $$y=x^3+x^{-3}-3x^{1/3}.$$
$$y'(x)=3x^2-3x^{-4}-3\cdot \frac{1}{3}x^{-2/3}$$
$$y'(x)=3x^2-3x^{-4}-x^{-2/3}.$$
б) $$y=x^4+x^{-4}+2x^{1/4}.$$
$$y'(x)=4x^3-4x^{-5}+2\cdot \frac{1}{4}x^{-3/4}$$
$$y'(x)=4x^3-4x^{-5}+\frac{1}{2}x^{-3/4}.$$
в) $$y=0{,}5x^4-x\sqrt{x}-\sqrt{2}.$$
$$y'(x)=0{,}5\cdot 4x^3-\frac{3}{2}x^{1/2}$$
$$y'(x)=2x^3-\frac{3}{2}\sqrt{x}.$$
г) $$y=\frac{1}{6x^6}+2\sqrt[3]{x^{-1}}-\sqrt[3]{3}.$$
$$y'(x)=-\frac{1}{6}\cdot 6x^{-7}+2\left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}\right)$$
$$y'(x)=-x^{-7}-\frac{2}{3}x^{-4/3}.$$
д) $$y=x^5-\frac{9}{\sqrt[3]{x}}+x^{-2}.$$
$$y'(x)=5x^4-9\left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}\right)-2x^{-3}$$
$$y'(x)=5x^4+3x^{-4/3}-2x^{-3}.$$
е) $$y=x^8-6x\sqrt[5]{x}-x^{0{,}7}.$$
$$y'(x)=8x^7-6\cdot \frac{6}{5}x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}$$
$$y'(x)=8x^7-7{,}2x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}.$$
Ответ
- $$y’=3x^2-3x^{-4}-x^{-2/3}$$
- $$y’=4x^3-4x^{-5}+\frac{1}{2}x^{-3/4}$$
- $$y’=2x^3-\frac{3}{2}\sqrt{x}$$
- $$y’=-x^{-7}-\frac{2}{3}x^{-4/3}$$
- $$y’=5x^4+3x^{-4/3}-2x^{-3}$$
- $$y’=8x^7-7{,}2x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}$$
