Упр.12.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) log(3; 2 + log(2; x + 2)) = 0;
б) log(1/3; 1 + log(2; 2^x — 7)) = -1;
в) log(5; 3 + lg(x + 1)) = 0;
г) log(1/4; 1 + log(3; 3^x — 8) = -1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику данной функции в точке с абсциссой а:
а) y=sin(?/6-2x), a=?/12;
б) y=(2/3)v(4-3x), a=1/3;
в) y=ctg(3x+?/4), a=?/2;
г) y=(x/3+1)^3+(3-0,5x)^2, a=-6.

Подробный ответ

а) $$\log_3\!\bigl(2+\log_2(x+2)\bigr)=0$$
Тогда
$$2+\log_2(x+2)=3^0=1,$$
$$\log_2(x+2)=-1,$$
$$x+2=2^{-1}=\frac12,$$
$$x=-\frac32.$$
б) $$\log_{\frac13}\!\bigl(1+\log_2(2^x-7)\bigr)=-1$$
Тогда
$$1+\log_2(2^x-7)=\left(\frac13\right)^{-1}=3,$$
$$\log_2(2^x-7)=2,$$
$$2^x-7=4,$$
$$2^x=11,$$
$$x=\log_2 11.$$
в) $$\log_5\!\bigl(3+\lg(x+1)\bigr)=0$$
Тогда
$$3+\lg(x+1)=5^0=1,$$
$$\lg(x+1)=-2,$$
$$x+1=10^{-2}=0{,}01,$$
$$x=-0{,}99.$$
г) $$\log_{\frac14}\!\bigl(1+\log_3(3^x-8)\bigr)=-1$$
Тогда
$$1+\log_3(3^x-8)=\left(\frac14\right)^{-1}=4,$$
$$\log_3(3^x-8)=3,$$
$$3^x-8=27,$$
$$3^x=35,$$
$$x=\log_3 35.$$
а) $$y=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}-2x\right), \quad a=\frac{\pi}{12}$$
$$y'(x)=-2\cos\!\left(\frac{\pi}{6}-2x\right),$$
$$y’\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=-2\cos\!\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)=-2.$$
б) $$y=\frac23\sqrt{4-3x}, \quad a=\frac13$$
$$y'(x)=\frac23\cdot\frac{-3}{2\sqrt{4-3x}}=-\frac{1}{\sqrt{4-3x}},$$
$$y’\!\left(\frac13\right)=-\frac{1}{\sqrt{4-1}}=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}.$$
в) $$y=\ctg\!\left(3x+\frac{\pi}{4}\right), \quad a=\frac{\pi}{2}$$
$$y'(x)=-\frac{3}{\sin^2\!\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)},$$
$$y’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{3}{\sin^2\!\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=-6.$$
г) $$y=\left(\frac{x}{3}+1\right)^3+\left(3-0{,}5x\right)^2, \quad a=-6$$
$$y'(x)=3\left(\frac{x}{3}+1\right)^2\cdot\frac13+2(3-0{,}5x)\cdot(-0{,}5),$$
$$y'(x)=\left(\frac{x}{3}+1\right)^2-(3-0{,}5x),$$
$$y'(-6)=(-2)^2-(3+3)=4-6=-2.$$