Упр.12.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2025 года. Вычислите:
а) $$\frac{\log_5 0{,}5}{\log_5 32-\log_5 4}$$;
в) $$\frac{\log_2 1{,}5}{\log_8 7{,}5+\log_8 0{,}3}$$;
б) $$\frac{\log_4 75-\log_2 5}{\log_4 18+\log_4 0{,}5}$$;
г) $$\frac{\log_4 27-2\log_4 3}{\log_4 30+\log_4 0{,}3}$$.
Задание учебника 2022 года. Используя формулы тригонометрии, преобразуйте данную функцию и найдите её производную:
а) $$y=2\sin(2x)\cos(2x)$$;
г) $$y=\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x)$$;
б) $$y=\sin^2(3x)$$;
д) $$y=2\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)$$;
в) $$y=\cos^2(x)-\sin^2(x)$$;
е) $$y=\sin(3x)\cos(x)-\cos(3x)\sin(x)$$.

Подробный ответ

Вычислим значения логарифмических выражений, используя свойства логарифмов:

а)
$$\frac{\log_5 0{,}5}{\log_5 32-\log_5 4} = \frac{\log_5 0{,}5}{\log_5 8} = \log_8 0{,}5 = \log_{2^3} 2^{-1} = -\frac13$$

б)
$$\frac{\log_4 75-\log_2 5}{\log_4 18+\log_4 0{,}5} = \frac{\log_4 75-\log_4 25}{\log_4 18+\log_4 0{,}5} = \frac{\log_4 3}{\log_4 9} = \log_9 3 = \frac12$$

в)
$$\frac{\log_2 1{,}5}{\log_8 7{,}5+\log_8 0{,}3} = \frac{\log_2 1{,}5}{\log_8 2{,}25} = \frac{\log_{1{,}5} 1{,}5^3}{\log_8 1{,}5^2} = \frac32$$

г)
$$\frac{\log_4 27-2\log_4 3}{\log_4 30+\log_4 0{,}3} = \frac{\log_4 27-\log_4 9}{\log_4 30+\log_4 0{,}3} = \frac{\log_4 3}{\log_4 9} = \log_9 3 = \frac12$$

Теперь преобразуем тригонометрические выражения и найдём производные:

а)
$$y=2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x$$
$$y’ = 4\cos 4x$$

б)
$$y=\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}$$
$$y’ = 3\sin 6x$$

в)
$$y=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$
$$y’=-2\sin 2x$$

г)
$$y=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x=\cos(2x+x)=\cos 3x$$
$$y’=-3\sin 3x$$

д)
$$y=2\cos^2 \frac{x}{4}=1+\cos \frac{x}{2}$$
$$y’=-\frac12 \sin \frac{x}{2}$$

е)
$$y=\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\sin(3x-x)=\sin 2x$$
$$y’=2\cos 2x$$