Упр.12.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) log_5 0,5 / (log_5 32 — log_5 4); в) log_2 1,5 / (log_8 7,5 + log_8 0,3);
б) (log_4 75 — log_2 5) / (log_4 18 + log_4 0,5); г) (log_4 27 — 2 log_4 3) / (log_4 30 + log_4 0,3). Используя формулы тригонометрии, преобразуйте данную функцию и найдите её производную:
а) y=2sin(2x)cos(2x); г) y=cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x);
б) y=sin^2(3x); д) y=2cos^2(x/4);
в) y=cos^2(x)-sin^2(x); е) y=sin(3x)cos(x)-cos(3x)sin(x).

Подробный ответ

Вычислим значения логарифмических выражений, используя свойства логарифмов:

а)
$$ \frac{\log_5 0{,}5}{\log_5 32-\log_5 4} = \frac{\log_5 0{,}5}{\log_5 8} = \log_8 0{,}5 = \log_{2^3} 2^{-1} = -\frac13 $$

б)
$$ \frac{\log_4 75-\log_2 5}{\log_4 18+\log_4 0{,}5} = \frac{\log_4 75-\log_4 25}{\log_4 18+\log_4 0{,}5} = \frac{\log_4 3}{\log_4 9} = \log_9 3 = \frac12 $$

в)
$$ \frac{\log_2 1{,}5}{\log_8 7{,}5+\log_8 0{,}3} = \frac{\log_2 1{,}5}{\log_8 2{,}25} = \frac{\log_{1{,}5} 1{,}5^3}{\log_8 1{,}5^2} = \frac32 $$

г)
$$ \frac{\log_4 27-2\log_4 3}{\log_4 30+\log_4 0{,}3} = \frac{\log_4 27-\log_4 9}{\log_4 30+\log_4 0{,}3} = \frac{\log_4 3}{\log_4 9} = \log_9 3 = \frac12 $$

Теперь преобразуем тригонометрические выражения и найдём производные:

а)
$$ y=2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x $$
$$ y’ = 4\cos 4x $$

б)
$$ y=\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2} $$
$$ y’ = 3\sin 6x $$

в)
$$ y=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x $$
$$ y’=-2\sin 2x $$

г)
$$ y=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x=\cos(2x+x)=\cos 3x $$
$$ y’=-3\sin 3x $$

д)
$$ y=2\cos^2 \frac{x}{4}=1+\cos \frac{x}{2} $$
$$ y’=-\frac12 \sin \frac{x}{2} $$

е)
$$ y=\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\sin(3x-x)=\sin 2x $$
$$ y’=2\cos 2x $$