Упр.12.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Докажите, что функция $$y=(x^3+x)\arctg(x)$$ удовлетворяет соотношению $$\frac{y’-x}{y}=\frac{3x^2+1}{x^3+x}$$.
- Найдите производную функции:
а) $$y=\operatorname{tg}(6x)$$;
б) $$y=\operatorname{tg}\left(-\frac{x}{4}\right)$$;
в) $$y=\operatorname{ctg}(2x)$$;
г) $$t=\operatorname{ctg}\left(\frac{?}{6}-3x\right)$$;
д) $$y=\operatorname{tg}\left(\frac{-x+2?}{3}\right)$$;
е) $$y=\operatorname{ctg}\left(\frac{2x+?}{12}\right)$$.
Пусть $$y=(x^3+x)\arctg x.$$ Тогда по правилу произведения
$$y’=(x^3+x)’\arctg x+(x^3+x)(\arctg x)’.$$
Так как $$(x^3+x)’=3x^2+1, \qquad (\arctg x)’=\frac{1}{x^2+1},$$ то
$$y’=(3x^2+1)\arctg x+\frac{x^3+x}{x^2+1}.$$
Но $$x^3+x=x(x^2+1),$$ значит
$$y’=(3x^2+1)\arctg x+x.$$
Тогда
$$y’-x=(3x^2+1)\arctg x.$$
Делим обе части на $$y=(x^3+x)\arctg x$$:
$$\frac{y’-x}{y}=\frac{(3x^2+1)\arctg x}{(x^3+x)\arctg x}=\frac{3x^2+1}{x^3+x}.$$
Что и требовалось доказать.
Найдём производные.
а) $$y=\tg 6x$$
$$y’=\frac{6}{\cos^2 6x}.$$
б) $$y=\tg\left(-\frac{x}{4}\right)$$
$$y’=-\frac14\cdot \frac{1}{\cos^2\left(-\frac{x}{4}\right)} =-\frac{1}{4\cos^2\frac{x}{4}}.$$
в) $$y=\ctg 2x$$
$$y’=-\frac{2}{\sin^2 2x}.$$
г) $$y=\ctg\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)$$
$$y’=-3\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)}\right) =\frac{3}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)}.$$
д) $$y=\tg\left(\frac{-x+2\pi}{3}\right)$$
$$y’=\frac13\cdot \frac{1}{\cos^2\left(\frac{-x+2\pi}{3}\right)}\cdot(-1) =-\frac{1}{3\cos^2\frac{x-2\pi}{3}}.$$
е) $$y=\ctg\left(\frac{2x+\pi}{12}\right)$$
$$y’=\frac{2}{12}\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2\left(\frac{2x+\pi}{12}\right)}\right) =-\frac{1}{6\sin^2\left(\frac{2x+\pi}{12}\right)}.$$
Ответ
$$\frac{y’-x}{y}=\frac{3x^2+1}{x^3+x};$$
а) $$y’=\frac{6}{\cos^2 6x};$$ б) $$y’=-\frac{1}{4\cos^2\frac{x}{4}};$$ в) $$y’=-\frac{2}{\sin^2 2x};$$ г) $$y’=\frac{3}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-3x\right)};$$ д) $$y’=-\frac{1}{3\cos^2\frac{x-2\pi}{3}};$$ е) $$y’=-\frac{1}{6\sin^2\left(\frac{2x+\pi}{12}\right)}.$$
