Упр.12.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (arcsin(x))’ ? 5; б) (arccos(x))’ ? -3. Найдите производную функции:
а) y=cos(3x); г) y=sin(4x);
б) y=sin(?/3-2x); д) y=cos(?/4-1,5x);
в) y=cos(2?/3-x/3); е) y=sin(x/2+?/6).

1. а) $$ (\arcsin x)’ \le 5 $$

   Известно, что $$ (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$, поэтому

   $$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \le 5 $$
   $$ 5\sqrt{1-x^2}\ge 1 $$
   $$ \sqrt{1-x^2}\ge \frac{1}{5} $$
   $$ 1-x^2\ge \frac{1}{25} $$
   $$ x^2\le \frac{24}{25} $$
   $$ -\frac{2\sqrt6}{5}\le x\le \frac{2\sqrt6}{5} $$

   С учётом области определения $$|x|<1$$ получаем:

   $$ x\in \left[-\frac{2\sqrt6}{5};\frac{2\sqrt6}{5}\right]. $$

2. б) $$ (\arccos x)’ \le -3 $$

   Известно, что $$ (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$, тогда

   $$ -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \le -3 $$
   $$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ge 3 $$
   $$ \sqrt{1-x^2}\le \frac{1}{3} $$
   $$ 1-x^2\le \frac{1}{9} $$
   $$ x^2\ge \frac{8}{9} $$
   $$ x\le -\frac{2\sqrt2}{3}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{2\sqrt2}{3} $$

   С учётом области определения $$|x|<1$$ получаем:

   $$ x\in \left(-1;-\frac{2\sqrt2}{3}\right]\cup \left[\frac{2\sqrt2}{3};1\right). $$

3. Найдём производные функций:

   а) $$y=\cos 3x$$, тогда
   $$ y’=-3\sin 3x. $$

   б) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$, тогда
   $$ y’=-2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right). $$

   в) $$y=\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)$$, тогда
   $$ y’=\frac{1}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right). $$

   г) $$y=\sin 4x$$, тогда
   $$ y’=4\cos 4x. $$

   д) $$y=\cos\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)$$, тогда
   $$ y’=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right). $$

   е) $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$, тогда
   $$ y’=\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right). $$

Ответ

а) $$\left[-\frac{2\sqrt6}{5};\frac{2\sqrt6}{5}\right]$$;
б) $$\left(-1;-\frac{2\sqrt2}{3}\right]\cup \left[\frac{2\sqrt2}{3};1\right)$$;
а) $$y’=-3\sin 3x$$;
б) $$y’=-2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$;
в) $$y’=\frac{1}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)$$;
г) $$y’=4\cos 4x$$;
д) $$y’=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)$$;
е) $$y’=\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$.