Упр.12.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$(\arcsin(x))’ \mathrel{?} 5$$;
   б) $$(\arccos(x))’ \mathrel{?} -3$$.
2. Найдите производную функции:
   а) $$y=\cos(3x)$$;
   г) $$y=\sin(4x)$$;
   б) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$;
   д) $$y=\cos\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)$$;
   в) $$y=\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)$$;
   е) $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$.

1. а) $$(\arcsin x)’ \le 5$$

   Известно, что $$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$, поэтому

   $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \le 5$$
   $$5\sqrt{1-x^2}\ge 1$$
   $$\sqrt{1-x^2}\ge \frac{1}{5}$$
   $$1-x^2\ge \frac{1}{25}$$
   $$x^2\le \frac{24}{25}$$
   $$-\frac{2\sqrt6}{5}\le x\le \frac{2\sqrt6}{5}$$

   С учётом области определения $$|x|<1$$ получаем:

   $$x\in \left[-\frac{2\sqrt6}{5};\frac{2\sqrt6}{5}\right].$$

2. б) $$(\arccos x)’ \le -3$$

   Известно, что $$(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$, тогда

   $$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \le -3$$
   $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ge 3$$
   $$\sqrt{1-x^2}\le \frac{1}{3}$$
   $$1-x^2\le \frac{1}{9}$$
   $$x^2\ge \frac{8}{9}$$
   $$x\le -\frac{2\sqrt2}{3}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{2\sqrt2}{3}$$

   С учётом области определения $$|x|<1$$ получаем:

   $$x\in \left(-1;-\frac{2\sqrt2}{3}\right]\cup \left[\frac{2\sqrt2}{3};1\right).$$

3. Найдём производные функций:

   а) $$y=\cos 3x$$, тогда
   $$y’=-3\sin 3x.$$

   б) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$, тогда
   $$y’=-2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right).$$

   в) $$y=\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)$$, тогда
   $$y’=\frac{1}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right).$$

   г) $$y=\sin 4x$$, тогда
   $$y’=4\cos 4x.$$

   д) $$y=\cos\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)$$, тогда
   $$y’=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right).$$

   е) $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$, тогда
   $$y’=\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right).$$

Ответ

а) $$\left[-\frac{2\sqrt6}{5};\frac{2\sqrt6}{5}\right]$$;
б) $$\left(-1;-\frac{2\sqrt2}{3}\right]\cup \left[\frac{2\sqrt2}{3};1\right)$$;
а) $$y’=-3\sin 3x$$;
б) $$y’=-2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$$;
в) $$y’=\frac{1}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{x}{3}\right)$$;
г) $$y’=4\cos 4x$$;
д) $$y’=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5x\right)$$;
е) $$y’=\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$.