Упр.12.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=v(6x+1); в) y=v((11-4x)/3);
б) y=v(6-5x); г) y=v((9+8x)/15).

Докажем тождество:

$$\arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}.$$

Найдём производную левой части:

$$\left(\arctg x+\operatorname{arcctg} x\right)’=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0.$$

Значит, сумма $$\arctg x+\operatorname{arcctg} x$$ — постоянная. Найдём её значение при $$x=1$$:

$$\arctg 1+\operatorname{arcctg} 1=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}.$$

Найдём производные функций:

1. $$y=\sqrt{6x+1}.$$

   $$y’=\frac{6}{2\sqrt{6x+1}}=\frac{3}{\sqrt{6x+1}}.$$

2. $$y=\sqrt{6-5x}.$$

   $$y’=\frac{-5}{2\sqrt{6-5x}}.$$

3. $$y=\sqrt{\frac{11-4x}{3}}.$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{\frac{11-4x}{3}}}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{2}{\sqrt{3(11-4x)}}.$$

4. $$y=\sqrt{\frac{9+8x}{15}}.$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{\frac{9+8x}{15}}}\cdot\frac{8}{15}=\frac{4}{\sqrt{15(9+8x)}}.$$

Ответ

$$\arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2};$$

$$y’=\frac{3}{\sqrt{6x+1}},\quad y’=-\frac{5}{2\sqrt{6-5x}},\quad y’=-\frac{2}{\sqrt{3(11-4x)}},\quad y’=\frac{4}{\sqrt{15(9+8x)}}.$$