Упр.12.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Докажите тождество: $$\arctg(x)+\arcctg(x)=?/2$$.
- Задание учебника 2022 года. Найдите производную функции:
а) $$y=v(6x+1)$$;
в) $$y=v\left(\frac{11-4x}{3}\right)$$;
б) $$y=v(6-5x)$$;
г) $$y=v\left(\frac{9+8x}{15}\right)$$.
Докажем тождество:
$$\arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}.$$
Найдём производную левой части:
$$\left(\arctg x+\operatorname{arcctg} x\right)’=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0.$$
Значит, сумма $$\arctg x+\operatorname{arcctg} x$$ — постоянная. Найдём её значение при $$x=1$$:
$$\arctg 1+\operatorname{arcctg} 1=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно,
$$\arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}.$$
Найдём производные функций:
$$y=\sqrt{6x+1}.$$
$$y’=\frac{6}{2\sqrt{6x+1}}=\frac{3}{\sqrt{6x+1}}.$$
$$y=\sqrt{6-5x}.$$
$$y’=\frac{-5}{2\sqrt{6-5x}}.$$
$$y=\sqrt{\frac{11-4x}{3}}.$$
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{\frac{11-4x}{3}}}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{2}{\sqrt{3(11-4x)}}.$$
$$y=\sqrt{\frac{9+8x}{15}}.$$
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{\frac{9+8x}{15}}}\cdot\frac{8}{15}=\frac{4}{\sqrt{15(9+8x)}}.$$
Ответ
$$\arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2};$$
$$y’=\frac{3}{\sqrt{6x+1}},\quad y’=-\frac{5}{2\sqrt{6-5x}},\quad y’=-\frac{2}{\sqrt{3(11-4x)}},\quad y’=\frac{4}{\sqrt{15(9+8x)}}.$$
