Упр.12.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y = x^2 arcsin(x) + x^3 / arcsin(x);
б) y = vx arctg(x);
в) y = 3 arcsin(x) — 2 arccos(x);
г) y = arcctg(x) / x. Найдите производную функции:
а) y=1/(3x+2); г) y=1/((2/3)x-1);
б) y=1/(7-0,2x); д) y=-v3/(2-xv3);
в) y=-0,25/(-4x-0,5); е) y=10/(-0,3x-8).
$$y=x^2\arcsin x+\frac{x^3}{\arcsin x}$$
Применим правило производной суммы и правило производной частного:
$$ y’=(x^2)’\arcsin x+x^2(\arcsin x)’+\left(\frac{x^3}{\arcsin x}\right)’ $$
$$ y’=2x\arcsin x+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{3x^2\arcsin x-\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}}{\arcsin^2 x} $$
Приведём к общему виду:
$$ y’=2x\arcsin x+\frac{x^2\arcsin^2 x+3x^2\arcsin x\sqrt{1-x^2}-x^3}{\sqrt{1-x^2}\,\arcsin^2 x} $$
$$y=\sqrt{x}\,\arctg x$$
По правилу произведения:
$$ y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\arctg x+\sqrt{x}\cdot\frac{1}{1+x^2} $$
$$y=3\arcsin x-2\arccos x$$
$$ y’=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}-2\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) $$
$$ y’=\frac{5}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$y=\frac{\operatorname{arcctg}x}{x}$$
По правилу производной частного:
$$ y’=\frac{\left(\operatorname{arcctg}x\right)’ \cdot x-\operatorname{arcctg}x}{x^2} $$
$$ y’=\frac{-\frac{1}{1+x^2}\cdot x-\operatorname{arcctg}x}{x^2} $$
$$ y’=-\frac{1}{x(1+x^2)}-\frac{\operatorname{arcctg}x}{x^2} $$
Ход решения
$$y=\frac{1}{3x+2}$$
$$ y’=-\frac{3}{(3x+2)^2} $$
$$y=\frac{1}{7-0{,}2x}$$
$$ y’=-\frac{-0{,}2}{(7-0{,}2x)^2}=\frac{0{,}2}{(7-0{,}2x)^2} $$
Так как $$7-0{,}2x=0{,}2(35-x)$$, то
$$ y’=\frac{5}{(35-x)^2} $$
$$y=-\frac{0{,}25}{-4x-0{,}5}$$
$$ y’=-0{,}25\cdot\left(-\frac{-4}{(-4x-0{,}5)^2}\right) $$
$$ y’=-\frac{1}{(4x+0{,}5)^2} $$
$$y=\frac{1}{\frac{2}{3}x-1}$$
$$ y’=-\frac{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}x-1\right)^2} $$
Так как $$\frac{2}{3}x-1=\frac{2x-3}{3}$$, получаем
$$ y’=-\frac{6}{(2x-3)^2} $$
$$y=-\frac{\sqrt{3}}{2-x\sqrt{3}}$$
$$ y’=-\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{-\sqrt{3}}{(2-x\sqrt{3})^2}\right) $$
$$ y’=-\frac{3}{(2-x\sqrt{3})^2} $$
$$y=\frac{10}{-0{,}3x-8}$$
$$ y’=-\frac{10\cdot(-0{,}3)}{(-0{,}3x-8)^2}=\frac{3}{(-0{,}3x-8)^2} $$
Ответ
1) $$y’=2x\arcsin x+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{3x^2\arcsin x-\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}}{\arcsin^2 x}$$;
2) $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\arctg x+\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}$$;
3) $$y’=\frac{5}{\sqrt{1-x^2}}$$;
4) $$y’=-\frac{1}{x(1+x^2)}-\frac{\operatorname{arcctg}x}{x^2}$$;
5) $$y’=-\frac{3}{(3x+2)^2}$$;
6) $$y’=\frac{5}{(35-x)^2}$$;
7) $$y’=-\frac{1}{(4x+0{,}5)^2}$$;
8) $$y’=-\frac{6}{(2x-3)^2}$$;
9) $$y’=-\frac{3}{(2-x\sqrt{3})^2}$$;
10) $$y’=\frac{3}{(-0{,}3x-8)^2}$$
