Упр.12.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$f(x)=0$$, если:
   а) $$f(x)=\frac{1}{2}\sin(4x)+\sin(2x)-\frac{2}{3}\sin(3x)$$;
   б) $$f(x)=(2x-5)^3+(2x-5)^2+x$$;
   в) $$f(x)=x^2\sqrt{3-2x}$$;
   г) $$f(x)=0{,}2\cos(5x)-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{4}\sin(4x)$$;
   д) $$f(x)=(1-3x)^3-(1-3x)^2+3x$$;
   е) $$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{4x-1}}$$.

1. а)

   $$f(x)=\frac12\sin 4x+\sin 2x-\frac23\sin 3x$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=2\cos 4x+2\cos 2x-2\cos 3x=0.$$

   Используем формулу $$\cos 4x+\cos 2x=2\cos 3x\cos x$$:
   $$2\cos 3x\cos x-\cos 3x=0,$$
   $$\cos 3x(2\cos x-1)=0.$$

   Тогда
   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

   Отсюда
   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б)

   $$f(x)=(2x-5)^3+(2x-5)^2+x$$

   Производная:
   $$f'(x)=2\cdot 3(2x-5)^2+2\cdot 2(2x-5)+1=0.$$

   Получаем квадратное уравнение:
   $$24x^2-112x+131=0.$$

   Дискриминант:
   $$D=(-112)^2-4\cdot 24\cdot 131=12544-12576=-32<0.$$

   Действительных корней нет.

3. в)

   $$f(x)=x^2\sqrt{3-2x}$$

   Область определения:
   $$3-2x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac32.$$

   Производная:
   $$f'(x)=2x\sqrt{3-2x}-\frac{2x^2}{\sqrt{3-2x}}=0.$$

   Умножим на $$\sqrt{3-2x}$$:
   $$2x(3-2x)-x^2=0,$$
   $$x(6-5x)=0.$$

   Тогда
   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac65.$$

4. г)

   $$f(x)=0{,}2\cos 5x-\frac13\cos 3x+\frac14\sin 4x$$

   Производная:
   $$f'(x)=-\sin 5x+\sin 3x+\cos 4x=0.$$

   Используем формулу $$\sin 3x-\sin 5x=-2\cos 4x\sin x$$:
   $$\cos 4x-2\cos 4x\sin x=0,$$
   $$\cos 4x(1-2\sin x)=0.$$

   Тогда
   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. д)

   $$f(x)=(1-3x)^3-(1-3x)^2+3x$$

   Производная:
   $$f'(x)=-9(1-3x)^2+6(1-3x)+3=0.$$

   После раскрытия скобок:
   $$81x^2-36x=0,$$
   $$9x(9x-4)=0.$$

   Тогда
   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac49.$$

6. е)

   $$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{4x-1}}$$

   Область определения:
   $$4x-1>0 \Rightarrow x>\frac14.$$

   Производная:
   $$f'(x)=\frac{2x\sqrt{4x-1}-\frac{4x^2}{\sqrt{4x-1}}}{4x-1}=0.$$

   Умножим на $$\sqrt{4x-1}$$:
   $$2x(4x-1)-2x^2=0,$$
   $$2x(3x-1)=0.$$

   С учётом области определения подходит только
   $$x=\frac13.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) корней нет;
в) $$x=0,\ \frac65$$;
г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
д) $$x=0,\ \frac49$$;
е) $$x=\frac13$$.