Упр.12.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) v(2x)-1=1/(x-1);
б) 2x+3+x^(1/3)=0;
в) 2/(x-1)+2=v(3x);
г) x^(1/4)+2x^3=3.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{2x}-1$$ и $$g(x)=\frac{1}{x-1}.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает при $$x \ge 0$$, а функция $$g(x)$$ убывает при $$x \ne 1$$. Значит, уравнение может иметь не более двух решений.
Проверим значения:
$$f(0)=\sqrt{0}-1=-1,\qquad g(0)=\frac{1}{0-1}=-1;$$
$$f(2)=\sqrt{4}-1=1,\qquad g(2)=\frac{1}{2-1}=1.$$
Следовательно, $$x=0$$ и $$x=2$$.
б) Перепишем уравнение:
$$2x+3=-\sqrt[3]{x}.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=2x+3$$ и $$g(x)=-\sqrt[3]{x}.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает при всех $$x \in \mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ убывает при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=-1$$:
$$2\cdot(-1)+3=1,\qquad -\sqrt[3]{-1}=1.$$
Значит, $$x=-1$$.
в) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{3x}$$ и $$g(x)=\frac{2}{x-1}+2.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает при $$x \ge 0$$, а функция $$g(x)$$ убывает при $$x \ne 1$$. Следовательно, уравнение может иметь не более двух решений.
Проверим значения:
$$f(0)=\sqrt{0}=0,\qquad g(0)=\frac{2}{0-1}+2=0;$$
$$f(3)=\sqrt{9}=3,\qquad g(3)=\frac{2}{3-1}+2=3.$$
Значит, $$x=0$$ и $$x=3$$.
г) Перепишем уравнение:
$$2x^3=3-\sqrt[4]{x}.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=2x^3$$ и $$g(x)=3-\sqrt[4]{x}.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает при всех $$x \in \mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ убывает при $$x \ge 0$$. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$2\cdot 1^3=2,\qquad 3-\sqrt[4]{1}=2.$$
Следовательно, $$x=1$$.