Упр.12.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) log_0,5((2x^2-4x-6)/(4x-11))?-1;
б) (log_2(x-1)^2)^2+5log_0,5(x-1)>-1.
а) Рассмотрим неравенство
$$\log_{0,5}\frac{2x^2-4x-6}{4x-11}\le -1.$$
Так как основание $$0,5<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$\frac{2x^2-4x-6}{4x-11}\ge 2.$$
Перенесём всё в одну дробь:
$$\frac{2x^2-4x-6-2(4x-11)}{4x-11}\ge 0,$$
$$\frac{2x^2-12x+16}{4x-11}\ge 0,$$
$$\frac{2(x^2-6x+8)}{4x-11}\ge 0,$$
$$\frac{2(x-2)(x-4)}{4x-11}\ge 0.$$
Критические точки: $$x=2,\; x=\frac{11}{4},\; x=4.$$
Исследуем знаки на промежутках. Получаем:
$$x\in[2;\tfrac{11}{4})\cup[4;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\bigl(\log_2(x-1)\bigr)^2+5\log_{0,5}(x-1)>-1.$$
Так как
$$\log_{0,5}(x-1)=-\log_2(x-1),$$
получаем
$$\bigl(\log_2(x-1)\bigr)^2-5\log_2(x-1)+1>0.$$
Положим $$y=\log_2(x-1).$$ Тогда
$$y^2-5y+1>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=25-4=21,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$y<\frac{5-\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad y>\frac{5+\sqrt{21}}{2}.$$
Возвращаясь к переменной $$x,$$ с учётом области определения $$x>1,$$ получаем:
$$\log_2(x-1)<\frac{5-\sqrt{21}}{2} \quad \text{или}\quad \log_2(x-1)>\frac{5+\sqrt{21}}{2}.$$
Отсюда
$$1<x<1+2^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}} \quad \text{или}\quad x>1+2^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}.$$
Ответ
а) $$[2;\tfrac{11}{4})\cup[4;+\infty)$$
б) $$\left(1;\,1+2^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}\right)\cup\left(1+2^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}};\,+\infty\right)$$
