Упр.12.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=2cos^2(x)+sin(2x)-2x;
б) f(x)=sin^2(x)-cos(2x)+2.

а) $$f(x)=2\cos^2 x+\sin 2x-2x$$

Преобразуем функцию:

$$2\cos^2 x=1+\cos 2x,$$

тогда

$$f(x)=1+\cos 2x+\sin 2x-2x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2\sin 2x+2\cos 2x-2.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$-2\sin 2x+2\cos 2x-2=0,$$

$$\cos 2x-\sin 2x=1.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$2x+\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Получаем:

$$2x=2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pi n,$$

или

$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

На промежутке $$[1;5]$$ подходят значения:

$$x=\pi,\quad x=\frac{3\pi}{4}.$$

б) $$f(x)=\sin^2 x-\cos 2x+2$$

Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:

$$f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}-\cos 2x+2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x)+2\sin 2x=-\sin 2x+2\sin 2x=\sin 2x.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$\sin 2x=0,$$

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

На промежутке $$[1;5]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2},\quad x=\pi,\quad x=\frac{3\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{3\pi}{4},\ \pi$$

б) $$\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}$$