Упр.12.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=v(x+4), B(0; 2,5);
б) y=(2x-1)^2, B(0; -3).

а) Для функции $$y=\sqrt{x+4}$$ найдём производную:

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}.$$

Уравнение касательной в точке $$x=a$$ имеет вид:

$$y=\sqrt{a+4}+\frac{1}{2\sqrt{a+4}}(x-a).$$

Так как касательная проходит через точку $$B(0;2{,}5)$$, подставим её координаты:

$$2{,}5=\sqrt{a+4}-\frac{a}{2\sqrt{a+4}}.$$

Умножим на $$2\sqrt{a+4}$$:

$$5\sqrt{a+4}=2(a+4)-a=a+8.$$

Возведём в квадрат:

$$25(a+4)=(a+8)^2,$$

$$25a+100=a^2+16a+64,$$

$$a^2-9a-36=0.$$

$$D=81+144=225,$$

$$a_{1,2}=\frac{9\pm 15}{2}.$$

Получаем:

$$a_1=-3,\quad a_2=12.$$

Тогда уравнения касательных:

при $$a=-3$$

$$y=\frac{1}{2}x+2{,}5,$$

при $$a=12$$

$$y=\frac{1}{8}x+2{,}5.$$

б) Для функции $$y=(2x-1)^2$$ найдём производную:

$$y’=4(2x-1).$$

Уравнение касательной в точке $$x=a$$:

$$y=(2a-1)^2+4(2a-1)(x-a).$$

Раскроем скобки:

$$y=(8a-4)x+(1-4a^2).$$

Так как касательная проходит через точку $$B(0;-3)$$, подставим её координаты:

$$-3=1-4a^2,$$

$$4a^2=4,$$

$$a=\pm 1.$$

Тогда:

при $$a=1$$

$$y=4x-3,$$

при $$a=-1$$

$$y=-12x-3.$$

Ответ

а) $$y=\frac{1}{2}x+2{,}5$$; $$y=\frac{1}{8}x+2{,}5$$.

б) $$y=-12x-3$$; $$y=4x-3$$.