Дополнительная задача 12 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Используя теорему о производной произведения (см. теорему 2 в §10) и формулу из упражнения 11 «е», докажите теорему о производной частного.

Подробный ответ

Представим частное в виде произведения:

$$\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}, \qquad g(x)\ne 0.$$

Тогда по теореме о производной произведения имеем:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\left(f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}\right)’=f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \left(\frac{1}{g(x)}\right)’.$$

Используем формулу производной обратной функции:

$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)’=-\frac{g'(x)}{g^2(x)}.$$

Подставим это в полученное выражение:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \left(-\frac{g'(x)}{g^2(x)}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)}{g^2(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}.$$

Тем самым доказано, что