Упр.12.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) (x^4 — 4x^3 + 3x^2) / (x^2 — 3x) + ax^2 — 4ax = 0;
б) (2x — 4)(2x + 2) / (x^4 — x^3 — 2x^2) + 2ax = a(x^2 + 1)? Составьте уравнение касательной, проведённой к графику функции y=g(x) параллельно указанной прямой:
а) g(x)=(6x-17)^2, y=12x+7;
б) g(x)=x+v(2x-1), y=2x+5;
в) g(x)=(11-5x)^3, y=4-15x;
г) g(x)=2x+v(5-4x), y=x.

Подробный ответ

а) Преобразуем уравнение:
$$\frac{x^4-4x^3+3x^2}{x^2-3x}+ax^2-4ax=0$$
$$\frac{x^2(x^2-4x+3)}{x(x-3)}+ax^2-4ax=0$$
$$\frac{x(x-1)(x-3)}{x-3}+ax^2-4ax=0$$
При $$x\ne 0$$ и $$x\ne 3$$ получаем:
$$x(x-1)+ax(x-4)=0$$
$$x^2-x+ax^2-4ax=0$$
$$x\bigl((a+1)x-(4a+1)\bigr)=0$$
Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{4a+1}{a+1}.$$
Чтобы уравнение не имело корней, оба найденных значения должны быть недопустимыми или совпадать с запрещёнными значениями $$x=0$$ и $$x=3$$.
Для второго корня:
$$\frac{4a+1}{a+1}=3 \Rightarrow 4a+1=3a+3 \Rightarrow a=2.$$
При $$a=2$$ второй корень равен $$3$$, а первый корень $$x=0$$ недопустим, значит корней нет.
Также при $$a=-1$$ и $$a=-\frac14$$ выражение не даёт допустимых корней.
б) Упростим уравнение:
$$\frac{(2x-4)(2x+2)}{x^4-x^3-2x^2}+2ax=a(x^2+1)$$
$$\frac{4(x-2)(x+1)}{x^2(x-2)(x+1)}+2ax=a(x^2+1)$$
При $$x\ne 0,\; x\ne 2,\; x\ne -1$$ имеем:
$$\frac{4}{x^2}+2ax=a(x^2+1)$$
$$4+2ax^3=ax^4+ax^2$$
$$ax^4-2ax^3+ax^2-4=0$$
$$ax^2(x-1)^2=4.$$
Так как $$x^2(x-1)^2\ge 0$$, то при $$a\le 0$$ левая часть не может равняться $$4$$, значит корней нет.
При $$a=1$$ получаем
$$x^2(x-1)^2=4,$$
то есть
$$x(x-1)=\pm 2.$$
Отсюда возможны значения $$x=2$$ и $$x=-1$$, но они запрещены областью определения. Следовательно, корней нет.
а) $$g(x)=(6x-17)^2,\quad y=12x+7.$$
Найдём производную:
$$g'(x)=2(6x-17)\cdot 6=12(6x-17).$$
Касательная параллельна прямой $$y=12x+7$$, значит её угловой коэффициент равен $$12$$:
$$12(6x-17)=12 \Rightarrow 6x-17=1 \Rightarrow x=3.$$
$$g(3)=(18-17)^2=1.$$
Уравнение касательной:
$$y-1=12(x-3),$$
$$y=12x-35.$$
б) $$g(x)=x+\sqrt{2x-1},\quad y=2x+5.$$
$$g'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.$$
Так как касательная параллельна прямой $$y=2x+5$$, то
$$1+\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=2.$$
$$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=1 \Rightarrow \sqrt{2x-1}=1 \Rightarrow x=1.$$
$$g(1)=1+\sqrt{1}=2.$$
Уравнение касательной:
$$y-2=2(x-1),$$
$$y=2x.$$
в) $$g(x)=(11-5x)^3,\quad y=4-15x.$$
$$g'(x)=-15(11-5x)^2.$$
Параллельность прямой означает:
$$-15(11-5x)^2=-15.$$
$$ (11-5x)^2=1 \Rightarrow 11-5x=\pm 1.$$
1) $$11-5x=1 \Rightarrow x=2,$$ тогда
$$g(2)=(11-10)^3=1,$$
$$y-1=-15(x-2),$$
$$y=-15x+31.$$
2) $$11-5x=-1 \Rightarrow x=\frac{12}{5},$$ тогда
$$g\!\left(\frac{12}{5}\right)=(-1)^3=-1,$$
$$y+1=-15\left(x-\frac{12}{5}\right),$$
$$y=-15x+35.$$
г) $$g(x)=2x+\sqrt{5-4x},\quad y=x.$$
$$g'(x)=2-\frac{2}{\sqrt{5-4x}}.$$
Для параллельности прямой $$y=x$$ нужно:
$$2-\frac{2}{\sqrt{5-4x}}=1.$$
$$\frac{2}{\sqrt{5-4x}}=1 \Rightarrow \sqrt{5-4x}=2 \Rightarrow 5-4x=4 \Rightarrow x=\frac14.$$
$$g\!\left(\frac14\right)=\frac12+\sqrt{4}=\frac52.$$
Уравнение касательной:
$$y-\frac52=x-\frac14,$$
$$y=x+\frac94.$$