Упр.12.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:
а) $$6^x+6^{x+2}\mathrel{?}222$$;
б) $$3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2x}-10\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x+3<0$$; в) $$5^{2x}<3^x$$; г) $$7^{x+1}-7^x\mathrel{?}294$$; д) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x-1}-26\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x+5>0$$;
е) $$4^x>\left(\frac{1}{5}\right)^{2x}$$.
Составьте уравнение касательной, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой $$a$$:
а) $$y=2\sqrt{3x-5},\quad a=2$$;
б) $$y=\sqrt{3}\cos\frac{x}{3},\quad a=?$$;
в) $$y=\sqrt{7-2x},\quad a=3$$;
г) $$y=\sqrt{2}\sin(2x),\quad a=?/8$$.

Подробный ответ

а) $$6^x+6^{x+2}\le 222$$
$$6^x+36\cdot 6^x\le 222$$
$$37\cdot 6^x\le 222$$
$$6^x\le 6$$
$$6^x\le 6^1 \Rightarrow x\le 1$$
Ответ: $$(-\infty;1]$$
б) $$3\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{2x}-10\left(\frac1{\sqrt3}\right)^x+3<0$$
Пусть $$y=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^x$$, тогда $$y>0$$ и получаем:
$$3y^2-10y+3<0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$
$$y_1=\frac13,\quad y_2=3$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$\frac13<y<3$$
$$\frac13<\left(\frac1{\sqrt3}\right)^x<3$$
$$\left(\frac1{\sqrt3}\right)^x>\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2,\quad \left(\frac1{\sqrt3}\right)^x<\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{-2}$$
Отсюда
$$x<2,\quad x>-2$$
$$-2<x<2$$
Ответ: $$(-2;2)$$
в) $$5^{2x}<3^x$$
$$25^x<3^x$$
$$\left(\frac{25}{3}\right)^x<1$$
Так как $$\frac{25}{3}>1$$, то
$$x<0$$
Ответ: $$(-\infty;0)$$
г) $$7^{x+1}-7^x\ge 294$$
$$7\cdot 7^x-7^x\ge 294$$
$$6\cdot 7^x\ge 294$$
$$7^x\ge 49$$
$$7^x\ge 7^2 \Rightarrow x\ge 2$$
Ответ: $$[2;+\infty)$$
д) $$\left(\frac15\right)^{x-1}-26\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x+5>0$$
$$5\left(\frac1{\sqrt5}\right)^{2x}-26\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x+5>0$$
Пусть $$y=\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$5y^2-26y+5>0$$
$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576$$
$$y_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}$$
$$y_1=\frac15,\quad y_2=5$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$y<\frac15 \quad \text{или} \quad y>5$$
$$\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x<\frac15,\quad \left(\frac1{\sqrt5}\right)^x>5$$
$$\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x<\left(\frac1{\sqrt5}\right)^2,\quad \left(\frac1{\sqrt5}\right)^x>\left(\frac1{\sqrt5}\right)^{-2}$$
Отсюда
$$x>2,\quad x<-2$$
Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$
е) $$4^x>\left(\frac15\right)^{2x}$$
$$4^x>\left(\frac1{25}\right)^x$$
$$\left(100\right)^x>1$$
Так как $$100>1$$, то
$$x>0$$
Ответ: $$(0;+\infty)$$

а) $$y=2\sqrt{3x-5},\ a=2$$
$$y’=\frac{3}{\sqrt{3x-5}}$$
$$y'(2)=\frac{3}{\sqrt{6-5}}=3$$
$$y(2)=2\sqrt{6-5}=2$$
Уравнение касательной:
$$y-2=3(x-2)$$
$$y=3x-4$$
б) $$y=\sqrt3\cos\frac{x}{3},\ a=\pi$$
$$y’=-\frac{\sqrt3}{3}\sin\frac{x}{3}$$
$$y'(\pi)=-\frac{\sqrt3}{3}\sin\frac{\pi}{3}=-\frac12$$
$$y(\pi)=\sqrt3\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$$
Уравнение касательной:
$$y-\frac{\sqrt3}{2}=-\frac12(x-\pi)$$
$$y=\frac{-x+\sqrt3+\pi}{2}$$
в) $$y=\sqrt{7-2x},\ a=3$$
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{7-2x}}$$
$$y'(3)=-\frac{1}{\sqrt{7-6}}=-1$$
$$y(3)=\sqrt{7-6}=1$$
Уравнение касательной:
$$y-1=-1(x-3)$$
$$y=4-x$$
г) $$y=\sqrt2\sin 2x,\ a=\frac{\pi}{8}$$
$$y’=2\sqrt2\cos 2x$$
$$y’\left(\frac{\pi}{8}\right)=2\sqrt2\cos\frac{\pi}{4}=2$$
$$y\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt2\sin\frac{\pi}{4}=1$$
Уравнение касательной:
$$y-1=2\left(x-\frac{\pi}{8}\right)$$
$$y=2x+1-\frac{\pi}{4}$$