Упр.12.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Вычислите производную заданной функции в указанной точке:
а) $$y=\arcsin(x),\quad x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
в) $$y=\arccos(x),\quad x=-\frac{1}{3}$$;
б) $$y=\operatorname{arctg}(x),\quad x=5$$;
г) $$y=\operatorname{arcctg}(x),\quad x=-7$$. - Задание учебника 2022 года. Найдите производную функции:
а) $$y=(4x-1)^2$$;
в) $$y=(7-0{,}2x)^3$$;
д) $$y=\left(-\frac{3}{8}x+9\right)^2$$;
б) $$y=(5-3x)^2$$;
г) $$y=(1{,}5x+2)^3$$;
е) $$y=\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{3}\right)^3$$.
Используем формулы производных обратных тригонометрических функций:
$$\left(\arcsin x\right)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad \left(\arctg x\right)’=\frac{1}{1+x^2},$$
$$\left(\arccos x\right)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad \left(\arcctg x\right)’=-\frac{1}{1+x^2}.$$
а) $$y=\arcsin x,\quad x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$y’\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{4}}} =\frac{1}{\sqrt{\frac14}}=2.$$
б) $$y=\arctg x,\quad x=5$$
$$y'(5)=\frac{1}{1+5^2}=\frac{1}{26}.$$
в) $$y=\arccos x,\quad x=-\frac13$$
$$y’\left(-\frac13\right) =-\frac{1}{\sqrt{1-\left(-\frac13\right)^2}} =-\frac{1}{\sqrt{1-\frac19}} =-\frac{1}{\sqrt{\frac89}} =-\frac{3}{2\sqrt2}.$$
г) $$y=\arcctg x,\quad x=-7$$
$$y'(-7)=-\frac{1}{1+(-7)^2} =-\frac{1}{50}.$$
Найдём производные функций, используя правило цепочки:
а) $$y=(4x-1)^2$$
$$y’=2(4x-1)\cdot 4=8(4x-1).$$
б) $$y=(5-3x)^2$$
$$y’=2(5-3x)\cdot(-3)=-6(5-3x)=6(3x-5).$$
в) $$y=(7-0{,}2x)^3$$
$$y’=3(7-0{,}2x)^2\cdot(-0{,}2)=-0{,}6(7-0{,}2x)^2.$$
г) $$y=(1{,}5x+2)^3$$
$$y’=3(1{,}5x+2)^2\cdot 1{,}5=4{,}5(1{,}5x+2)^2.$$
д) $$y=\left(-\frac{3}{8}x+9\right)^2$$
$$y’=2\left(-\frac{3}{8}x+9\right)\cdot\left(-\frac{3}{8}\right) =-\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{8}x+9\right) =\frac{3}{4}\left(\frac{3}{8}x-9\right).$$
е) $$y=\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{3}\right)^3$$
$$y’=3\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{3}\right)^2\cdot\frac{4}{9} =\frac{4}{3}\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{3}\right)^2.$$
Ответ
$$\text{1) а) }2;\ \text{б) }\frac{1}{26};\ \text{в) }-\frac{3}{2\sqrt2};\ \text{г) }-\frac{1}{50}.$$
$$\text{2) а) }y’=8(4x-1);\ \text{б) }y’=6(3x-5);\ \text{в) }y’=-0{,}6(7-0{,}2x)^2;$$
$$\text{г) }y’=4{,}5(1{,}5x+2)^2;\ \text{д) }y’=\frac{3}{4}\left(\frac{3}{8}x-9\right);\ \text{е) }y’=\frac{4}{3}\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{3}\right)^2.$$
