Упр.11.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите производную функции: а) $$y=\sin(x)\cos(x)$$; в) $$y=\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}$$; д) $$y=\frac{\cos(x)}{\operatorname{tg}(x)}$$; б) $$y=\cos(x)\operatorname{ctg}(x)$$; г) $$y=\sin(x)\operatorname{tg}(x)$$; е) $$y=\frac{\operatorname{ctg}(x)}{\sin(x)}$$.

1. а) $$y=\sin x\cos x$$

   Применим правило производной произведения:

   $$y’=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’=\cos x\cos x-\sin x\sin x$$

   $$y’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$

2. б) $$y=\cos x\ctg x$$

   $$y’=(\cos x)’\ctg x+\cos x(\ctg x)’$$

   $$y’=-\sin x\ctg x+\cos x\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$$

   $$y’=-\cos x-\frac{\cos x}{\sin^2 x}=-\cos x\left(1+\frac{1}{\sin^2 x}\right)$$

3. в) $$y=\frac{1}{\sin x\cos x}$$

   Представим функцию как произведение степеней:

   $$y=(\sin x)^{-1}(\cos x)^{-1}$$

   Тогда

   $$y’=-\frac{\cos x}{\sin^2 x\cos x}+\frac{\sin x}{\cos^2 x\sin x}$$

   $$y’=-\frac{1}{\sin^2 x}+\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}$$

   $$y’=-\frac{\cos 2x}{\sin^2 x\cos^2 x}$$

4. г) $$y=\sin x\tg x$$

   $$y’=(\sin x)’\tg x+\sin x(\tg x)’$$

   $$y’=\cos x\cdot\tg x+\sin x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}$$

   $$y’=\sin x+\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\sin x\left(1+\frac{1}{\cos^2 x}\right)$$

5. д) $$y=\frac{\cos x}{\tg x}$$

   Применим правило производной частного:

   $$y’=\frac{(\cos x)’\tg x-\cos x(\tg x)’}{\tg^2 x}$$

   $$y’=\frac{-\sin x\cdot\tg x-\cos x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}{\tg^2 x}$$

   $$y’=\frac{-\frac{\sin^2 x}{\cos x}-\frac{1}{\cos x}}{\tg^2 x}=-\frac{\sin^2 x+1}{\cos x\,\tg^2 x}$$

6. е) $$y=\frac{\ctg x}{\sin x}$$

   $$y’=\frac{(\ctg x)’\sin x-\ctg x(\sin x)’}{\sin^2 x}$$

   $$y’=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}\sin x-\cos x\ctg x}{\sin^2 x}$$

   $$y’=\frac{-\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos^2 x}{\sin x}}{\sin^2 x}=-\frac{1+\cos^2 x}{\sin^3 x}$$

Ответ

а) $$y’=\cos 2x$$;
б) $$y’=-\cos x\left(1+\frac{1}{\sin^2 x}\right)$$;
в) $$y’=-\frac{\cos 2x}{\sin^2 x\cos^2 x}$$;
г) $$y’=\sin x\left(1+\frac{1}{\cos^2 x}\right)$$;
д) $$y’=-\frac{\sin^2 x+1}{\cos x\,\tg^2 x}$$;
е) $$y’=-\frac{1+\cos^2 x}{\sin^3 x}$$.