Упр.11.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=3/cos(x); г) y=2/sin(x);
б) y=1/(sin(x)+cos(x)); д) y=1/(cos(x)-ctg(x));
в) y=1/(tg(x)-sin(x)); е) y=1/(tg(x)-ctg(x)).

1. $$y=\frac{3}{\cos x}=3(\cos x)^{-1}$$

   Тогда

   $$y’ = 3\cdot(-1)(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{3\sin x}{\cos^2 x}.$$

2. $$y=\frac{1}{\sin x+\cos x}$$

   По формуле производной частного:

   $$y’=\frac{0-(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}=\frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}.$$

3. $$y=\frac{1}{\tg x-\sin x}$$

   Тогда

   $$y’=\frac{0-\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\cos x\right)}{(\tg x-\sin x)^2}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{\cos^2 x}-\cos x=\frac{1-\cos^3 x}{\cos^2 x},$$

   значит

   $$y’=\frac{\cos^3 x-1}{\cos^2 x(\tg x-\sin x)^2}.$$

4. $$y=\frac{2}{\sin x}=2(\sin x)^{-1}$$

   Тогда

   $$y’ = 2\cdot(-1)(\sin x)^{-2}\cdot\cos x=-\frac{2\cos x}{\sin^2 x}.$$

5. $$y=\frac{1}{\cos x-\ctg x}$$

   Тогда

   $$y’=\frac{0-(-\sin x+\frac{1}{\sin^2 x})}{(\cos x-\ctg x)^2}.$$

   Приведём числитель к общему знаменателю:

   $$-\sin x+\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1-\sin^3 x}{\sin^2 x},$$

   поэтому

   $$y’=\frac{\sin^3 x-1}{\sin^2 x(\cos x-\ctg x)^2}.$$

6. $$y=\frac{1}{\tg x-\ctg x}$$

   Тогда

   $$y’=\frac{0-\left(\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}\right)}{(\tg x-\ctg x)^2}.$$

   Сложим дроби:

   $$\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}.$$

   Тогда

   $$y’=-\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x(\tg x-\ctg x)^2}.$$

   Так как

   $$\tg x-\ctg x=\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin x\cos x},$$

   то

   $$y’=-\frac{1}{(\sin^2 x-\cos^2 x)^2}=-\frac{1}{\cos^2 2x}.$$

Ответ

а) $$y’=\frac{3\sin x}{\cos^2 x}$$;
б) $$y’=\frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}$$;
в) $$y’=\frac{\cos^3 x-1}{\cos^2 x(\tg x-\sin x)^2}$$;
г) $$y’=-\frac{2\cos x}{\sin^2 x}$$;
д) $$y’=\frac{\sin^3 x-1}{\sin^2 x(\cos x-\ctg x)^2}$$;
е) $$y’=-\frac{1}{\cos^2 2x}$$.