Упр.11.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Найдите производную функции:
- а) $$y=\frac{3}{\cos(x)}$$;
- г) $$y=\frac{2}{\sin(x)}$$;
- б) $$y=\frac{1}{\sin(x)+\cos(x)}$$;
- д) $$y=\frac{1}{\cos(x)-\operatorname{ctg}(x)}$$;
- в) $$y=\frac{1}{\operatorname{tg}(x)-\sin(x)}$$;
- е) $$y=\frac{1}{\operatorname{tg}(x)-\operatorname{ctg}(x)}$$.
$$y=\frac{3}{\cos x}=3(\cos x)^{-1}$$
Тогда
$$y’ = 3\cdot(-1)(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{3\sin x}{\cos^2 x}.$$
$$y=\frac{1}{\sin x+\cos x}$$
По формуле производной частного:
$$y’=\frac{0-(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}=\frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}.$$
$$y=\frac{1}{\tg x-\sin x}$$
Тогда
$$y’=\frac{0-\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\cos x\right)}{(\tg x-\sin x)^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{1}{\cos^2 x}-\cos x=\frac{1-\cos^3 x}{\cos^2 x},$$
значит
$$y’=\frac{\cos^3 x-1}{\cos^2 x(\tg x-\sin x)^2}.$$
$$y=\frac{2}{\sin x}=2(\sin x)^{-1}$$
Тогда
$$y’ = 2\cdot(-1)(\sin x)^{-2}\cdot\cos x=-\frac{2\cos x}{\sin^2 x}.$$
$$y=\frac{1}{\cos x-\ctg x}$$
Тогда
$$y’=\frac{0-(-\sin x+\frac{1}{\sin^2 x})}{(\cos x-\ctg x)^2}.$$
Приведём числитель к общему знаменателю:
$$-\sin x+\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1-\sin^3 x}{\sin^2 x},$$
поэтому
$$y’=\frac{\sin^3 x-1}{\sin^2 x(\cos x-\ctg x)^2}.$$
$$y=\frac{1}{\tg x-\ctg x}$$
Тогда
$$y’=\frac{0-\left(\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}\right)}{(\tg x-\ctg x)^2}.$$
Сложим дроби:
$$\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}.$$
Тогда
$$y’=-\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x(\tg x-\ctg x)^2}.$$
Так как
$$\tg x-\ctg x=\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin x\cos x},$$
то
$$y’=-\frac{1}{(\sin^2 x-\cos^2 x)^2}=-\frac{1}{\cos^2 2x}.$$
Ответ
а) $$y’=\frac{3\sin x}{\cos^2 x}$$;
б) $$y’=\frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}$$;
в) $$y’=\frac{\cos^3 x-1}{\cos^2 x(\tg x-\sin x)^2}$$;
г) $$y’=-\frac{2\cos x}{\sin^2 x}$$;
д) $$y’=\frac{\sin^3 x-1}{\sin^2 x(\cos x-\ctg x)^2}$$;
е) $$y’=-\frac{1}{\cos^2 2x}$$.
